LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình là phương pháp được giới thiệu trong chương trình Toán 8, phân môn Đại số. Đây là phần kiến thức trọng tâm của chương trình và được tiếp tục nghiên cứu ở những lớp học cao hơn. Phương pháp này giúp chúng ta tìm ra các giá trị của các biến trong bài toán bằng cách xây dựng phương trình dựa trên các thông tin cho trước.

1. Ví dụ

Cho mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng . Tìm phân số ban đầu.

Hướng dẫn:

Gọi x là tử số của phân số ban đầu.
Do mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị, ta có mẫu số của phân số ban đầu là x + 3.
Theo đề bài, nếu tăng cả tử và mẫu của phân số ban đầu thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng . Điều này tương đương với phương trình:

(x + 2)/(x + 3 + 2) = 3/4

Giải phương trình trên ta được x = 2.
Vậy phân số ban đầu là:

2/(2 + 3) = 2/5.

Những ví dụ về lập phương trình trong giải toán

Ví dụ 1: Tìm phân số

Nếu tăng cả tử và mẫu của phân số nào đó thêm 2 đơn vị thì ta được phân số mới. Biết rằng phân số mới bằng 4/7, hãy tìm phân số ban đầu.

Xem Thêm: XIX là thế kỷ bao nhiêu? Chữ số La Mã là gì? Cách xác định

Giải:

Gọi x là mẫu số của phân số ban đầu.
Theo giả thiết, khi tăng tử và mẫu của phân số thêm 2 đơn vị thì ta được phân số mới là 4/7. Vì vậy, ta có phương trình:

(x + 2)/(x + 2 + 2) = 4/7

Giải phương trình trên ta được:

x = 2

Vậy mẫu số của phân số ban đầu là 4. Do đó, phân số ban đầu là:

2/4 = 1/2

Ví dụ 2: Tìm số học sinh của lớp 8A

Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng 15% số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

Giải:

Gọi x là số học sinh cả lớp 8A.
Theo giả thiết, số học sinh giỏi trong học kì I bằng 15% số học sinh cả lớp 8A. Vì vậy:

Số học sinh giỏi trong học kì I là: 0.15x

Theo giả thiết, số học sinh giỏi trong học kì II bằng 20% số học sinh cả lớp 8A. Do có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, vậy số học sinh giỏi trong học kì II là:

Số học sinh giỏi trong học kì II là: (0.15x + 3) × 1.2

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Đọc và hiểu đề bài, xác định đại lượng cần tìm.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Kiểm tra và kết luận.

Một số lưu ý:

Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.
Nếu x biểu thị là một chữ số thì x mang giá trị nguyên dương.
Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x mang giá trị nguyên dương.
Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thì x > 0.

Xem Thêm: Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 1: Một khu đất hình chữ nhật

Một khu đất hình chữ nhật với hai kích thước hơn kém nhau 4m, biết diện tích của khu đất đó bằng 1200 (m²). Hãy tính chu vi của khu đất đó?

Giải

Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m), (điều kiện: x > 0). Thì chiều dài khu đất hình chữ nhật là x + 4 (m). Vì diện tích hình chữ nhật là 1200m². Ta có phương trình sau:

x(x + 4) = 1200

⇔ x² + 4x – 1200 = 0

⇔ x₁ = 30 (nhận). x₂ = –34 (loại). Chiều rộng hình chữ nhật là 30 (m). Chiều dài hình chữ nhật là 30 + 4 = 34 (m). Vậy chu vi của khu đất hình chữ nhật là: (34 + 30) x 2 = 128 (m).

Bài 2: Bài toán cổ Việt Nam – Vừa gà vừa chó

Bài toán yêu cầu tìm số gà và chó trong một bó có tổng số đầu là 36 và tổng số chân là 100.

Giải bài toán bằng cách gọi số gà là x, số chó là y. Theo đó:

Tổng số đầu:

x + y = 36

Tổng số chân:

2x + 4y = 100

Chuyển đổi phương trình:

x = 36 – y

Thay x vào phương trình số chân:

2(36 – y) + 4y = 100

Giải phương trình trên, ta được:

y = 22

Vậy số gà là:

x = 36 – y = 14

Do đó, trong bó có 14 con gà và 22 con chó.

Bài 3: Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông

Bài toán yêu cầu tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông khi biết chiều cao là 9,6m và cạnh huyền chia thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, gọi độ dài cạnh huyền là x:

AH² + (x – 5,6)² = x²

Simplify phương trình trên, ta được:

AH² = 31,36 – 11,2x

Giả thiết cho biết chiều cao của tam giác vuông là 9,6m, do đó:

Xem Thêm: Tìm hiểu phương pháp tích phân từng phần và cách áp dụng vào thực tiễn

AH = 9,6m

Thay giá trị AH vào phương trình trên, ta được:

9,6² = 31,36 – 11,2x

Giải phương trình trên, ta được:

x = 13,5m

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác là 13,5m.

Bài 4:

Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.