Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương

Phương trình bậc nhất 2 ẩn là phương trình có dạng:

ax + by = c

trong đó a, b, c là các hằng số và x, y là các biến số.

Phương pháp thế

Phương pháp thế là một trong những phương pháp giải hệ phương trình đơn giản nhất. Phương pháp này dựa trên nguyên lý thế giới, nghĩa là ta sẽ thay thế giá trị của một biến vào trong phương trình khác để tìm giá trị của biến còn lại.

Để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế, ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Giải phương trình đơn giản để tìm giá trị của một biến bằng phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình theo một biến nào đó.
• Bước 2: Thay giá trị của biến vừa tìm được vào trong phương trình còn lại để tìm giá trị của biến kia.
• Bước 3: Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị của hai biến vào trong hai phương trình ban đầu để xem có thỏa mãn hay không.

Phương pháp phương

Phương pháp phương là một phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn khác. Phương pháp này dựa trên việc tính định thức của ma trận hệ số và định thức của ma trận mở rộng để tìm nghiệm của hệ phương trình.

Để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp phương, ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tính định thức của ma trận hệ số.
• Bước 2: Tính định thức của ma trận mở rộng.
• Bước 3: Tìm giá trị của hai biến bằng cách chia định thức ma trận mở rộng cho định thức ma trận hệ số.

Với hai phương pháp trên, ta có thể giải được hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn một cách nhanh chóng và đơn giản.

Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

I. Tóm tắt lý thuyết về phương trình bậc nhất 2 ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c với a, b, c ∈ R và (a^2 + b^2 ≠ 0). Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn là vô số nghiệm và được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Trong trường hợp a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số. Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) sẽ song song hoặc trùng với trục tung. Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) sẽ song song hoặc trùng với trục hoành.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

ax + by = c

a’x + b’y = c’

Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được minh họa như sau:

• Nếu đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) và c ≠ c’ thì hệ vô nghiệm.
• Nếu đường thẳng (d) và đường thẳng (d’) cắt nhau tại một điểm thì hệ có nghiệm duy nhất.
• Nếu đường thẳng (d) và đường thẳng (d’) trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai phương pháp chính đó là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Phương pháp cộng đại số

Phương pháp cộng đại số là phương pháp giải phương trình bậc nhất 2 ẩn dựa trên tính chất của đại số. Phương pháp này được sử dụng để loại bỏ một biến trong phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình.

Để giải phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Nhân mỗi phương trình với một hệ số sao cho hệ số của một biến giống nhau ở cả hai phương trình.
• Bước 2: Cộng hoặc trừ hai phương trình với nhau để loại bỏ một biến.
• Bước 3: Tìm giá trị của biến còn lại bằng cách thay giá trị của biến đã tìm được vào trong phương trình.
• Bước 4: Tìm giá trị của biến còn lại bằng cách thay giá trị của biến đã tìm được vào trong phương trình còn lại.
• Bước 5: Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị của hai biến vào trong hai phương trình ban đầu để xem có thỏa mãn hay không.

Bài tập giải phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế:

Giải hệ phương trình sau:

2x + 3y = 13
4x - 5y = -8

Bước 1: Giải phương trình đơn giản để tìm giá trị của một biến bằng phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình theo một biến nào đó.

Ta thấy rằng, nếu nhân phương trình thứ nhất với 5 và phương trình thứ hai với 3, ta sẽ có hai phương trình sau đây:

10x + 15y = 65
12x - 15y = -24

Để loại bỏ biến y, ta cộng hai phương trình lại với nhau:

22x = 41

Từ đó, ta suy ra giá trị của biến x là:

x = 41 / 22

Bước 2: Thay giá trị của biến vừa tìm được vào trong phương trình còn lại để tìm giá trị của biến kia.

Thay x vào phương trình đầu tiên, ta có:

2(41/22) + 3y = 13

Simplifying:

(82/22) + 3y = 13

Từ đó, ta suy ra giá trị của biến y là:

y = 8 / 11

Bước 3: Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị của hai biến vào trong hai phương trình ban đầu để xem có thỏa mãn hay không.

Thay x = 41/22 và y = 8/11 vào hai phương trình ban đầu, ta có:

2(41/22) + 3(8/11) = 13

4(41/22) - 5(8/11) = -8

Cả hai phương trình đều thỏa mãn, vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 41/22 và y = 8/11.

Đây là cách giải phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình sau:

a) 2x – y = 3

b) x + y = 7

Lời giải:

Từ phương trình (b), ta suy ra: y = 7 – x. Thay vào phương trình (a), ta được: 2x – (7 – x) = 3. Giải phương trình này ta được x = 2. Thay x = 2 vào phương trình (b), ta được y = 5.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2, 5).

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta cộng hoặc trừ các phương trình trong hệ để tạo ra một phương trình mới, chỉ có một ẩn, rồi giải phương trình đó để tìm giá trị của ẩn đó. Sau đó, thay giá trị ấy vào các phương trình còn lại để tìm nghiệm của hệ.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình sau:

a) x – y = 3

b) 3x + y = 13

Lời giải:

Nhân phương trình (a) với 3, ta được: 3x – 3y = 9. Cộng phương trình này với phương trình (b), ta được: 6x = 22. Giải phương trình này, ta được x = 22/6 = 11/3. Thay giá trị x vào phương trình (a), ta được y = -2/3.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (11/3, -2/3).

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ, rồi giải hệ theo các ẩn

Nguồn Tham Khao:

Phương trình tuyến tính
Phương trình bậc hai