Tìm hiểu phương pháp tích phân từng phần và cách áp dụng vào thực tiễn

Phương pháp tích phân từng phần và các bài tập vận dụng

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Trong giải tích toán học, phương pháp tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Phương pháp này được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn.

Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm. Nếu $u = u(x)$ và $du = u'(x) dx$, trong đó $v = v(x)$ và $dv = v'(x) dx$, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

$$\int u dv = uv – \int v du$$

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Định lý cho biết nếu $u(x)$ và $v(x)$ là hai hàm khả vi liên tục, thì tích phân từng phần của tích của chúng có thể được tính bằng công thức:

$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – \int v(x)u'(x)dx$$

Cách tính tích phân từng phần

II. Các bước tính tích phân từng phần

Các bước tính tích phân từng phần như sau:

Bước 1:

Biến đổi tích phân ban đầu về dạng ∫u dv.

Bước 2:

Đặt $u$ là một nguyên hàm của $v'(x)$.

Bước 3:

Khi đó, tích phân từng phần có thể được tính bằng công thức $\int v du$.

Ví dụ, để tính $\int x^2 e^x dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần, ta chọn $u(x) = x^2$ và $v'(x) = e^x$. Từ đó, ta tính được $u'(x) = 2x$ và $v(x) = e^x$. Thay giá trị $u$ và $v’$ vào công thức, ta có:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – \int 2x e^x dx$$

Tiếp theo, ta chọn $u(x) = 2x$ và $v'(x) = e^x$. Từ đó, ta tính được $u'(x) = 2$ và $v(x) = e^x$. Thay giá trị $u$ và $v’$ vào công thức, ta có:

$$\int 2x e^x dx = 2x e^x – \int 2 e^x dx = 2x e^x – 2e^x$$

Thay giá trị tích phân từng phần vào công thức ban đầu, ta có:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x + C$$

Trong đó, $C$ là hằng số tích cực.

III. Thứ tự ưu tiên chọn u

Khi chọn $u$ và $v$, ta có thể tuân theo thứ tự ưu tiên sau đây: logarit, đa thức, lượng giác và mũ.

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Có nhiều bài tập áp dụng phương pháp tích phân từng phần trong giải tích và toán học ứng dụng. Ví dụ:

Bài tập 1: Tính tích phân $\int x^2 e^x dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

Giải:

Ta chọn $u(x) = x^2$ và $v'(x) = e^x$, vì vậy $u'(x) = 2x$ và $v(x) = e^x$. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – \int 2x e^x dx$$

Chọn $u(x) = 2x$ và $v'(x) = e^x$, vì vậy $u'(x) = 2$ và $v(x) = e^x$. Áp dụng lại công thức tích phân từng phần, ta

có:

$$\int 2x e^x dx = 2x e^x – \int 2 e^x dx = 2x e^x – 2e^x$$

Thay giá trị tích phân từng phần vào công thức ban đầu, ta được:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x + C$$

Trong đó, $C$ là hằng số tích cực.

Bài tập 2: Tính tích phân $\int_0^1 x e^{x^2} dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần.

Giải:

Ta chọn $u(x) = x$ và $v'(x) = e^{x^2}$, vì vậy $u'(x) = 1$ và $v(x) = \int e^{x^2} dx$. Để tính được giá trị của $v(x)$, ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số bằng cách chọn $t = x^2$, vì vậy $dt/dx = 2x$ và $dx = dt/(2x)$. Vì vậy:

$$\int e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int e^t \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} e^t dt$$

Chọn $u(t) = t^{-1/2}$ và $v'(t) = e^t$, vì vậy $u'(t) = -1/2 t^{-3/2}$ và $v(t) = e^t$. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

$$\int t^{-1/2} e^t dt = 2\sqrt{t} e^t – 2 \int t^{1/2} e^t dt$$

Thay $t = x^2$ và tính giá trị của $\int_0^1 t^{1/2} e^t dt$ bằng cách áp dụng phương pháp tích phân từng phần, ta có:

$$\int_0^1 x e^{x^2} dx = \left. \frac{1}{2} e^{x^2} \right|_0^1 = \frac{1}{2} (e – 1)$$

Do đó, tích phân đã cho có giá trị bằng $\frac{1}{2} (e – 1)$.

Như vậy, phương pháp tích phân từng phần là một công cụ hữu ích trong giải tích và toán học ứng dụng để tính toán các tích phân phức tạp.

Tích phân và phương pháp tính tích phân từng phần

Trong toán học, tích phân là một phép tính toán quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế và khoa học máy tính. Tích phân là quá trình tìm diện tích dưới đường cong của một hàm số trong một khoảng xác định. Tuy nhiên, để tính được tích phân của một hàm số phức tạp, người ta thường sử dụng các phương pháp tính toán khác nhau, trong đó tích phân từng phần là một trong những phương pháp phổ biến nhất.

I. Tích phân từng phần là gì?

Tích phân từng phần là phương pháp tính tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Tích phân và phương pháp tính tích phân từng phần

Trong toán học, tích phân là một phép tính toán quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế và khoa học máy tính. Tích phân là quá trình tìm diện tích dưới đường cong của một hàm số trong một khoảng xác định. Tuy nhiên, để tính được tích phân của một hàm số phức tạp, người ta thường sử dụng các phương pháp tính toán khác nhau, trong đó tích phân từng phần là một trong những phương pháp phổ biến nhất.

I. Tích phân từng phần là gì?

Tích phân từng phần là phương pháp tính tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Ví dụ về tính tích phân từng phần

Bài toán

Tính tích phân: ∫₁^e x² ln(x)dx

Giải quyết bài toán

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu theo công thức: ∫x² ln(x)dx = (1/3)x³ ln(x) – (1/9)x³ + C

Bước 2: Áp dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách chia đoạn tích phân thành các phân đoạn đơn giản hơn. Ví dụ, chia đoạn từ 1 đến e thành các đoạn 1 đến 2, 2 đến 3, 3 đến e

Bước 3: Tính tích phân của từng phân đoạn. Ví dụ, tính tích phân của phân đoạn từ 1 đến 2:

∫₁² x² ln(x)dx = (1/3)x³ ln(x) – ∫₁² (1/3)x² dx = (1/3)x³ ln(x) – (1/9)x³ |₁² = (8/27) ln(2) – (8/27) + (1/27)

Bước 4: Tổng hợp các kết quả tính được từ các phân đoạn để tìm ra kết quả của bài toán. Ví dụ, kết quả của bài toán là:

∫₁^e x² ln(x)dx = (8/27) ln(2) – (1/9)e³ + (1/27)

Bài toán 1

Hãy tính tích phân từng phần của hàm số f(x) = x³ + x² + x + 1 trên đoạn từ 0 đến 1:

Giải pháp

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu theo công thức:

∫₀¹ (x³ + x² + x + 1)dx = (1/4)x⁴ + (1/3)x³ + (1/2)x² + x |₀¹

Bước 2: Chia đoạn tích phân thành các phân đoạn đơn giản hơn. Ví dụ, chia đoạn từ 0 đến 1 thành các đoạn 0 đến 0.25, 0.25 đến 0.5, 0.5 đến 0.75 và 0.75 đến 1

Bước 3: Tính tích phân của từng phân đoạn:

• ∫₀^0.25 (x³ + x² + x + 1)dx = (1/4)(0.25)⁴ + (1/3)(0.25)³ + (1/2)(0.25)² + 0.25 ≈ 0.02734
• ∫_0.25^0.5 (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.15625
• ∫_0.5^0.75 (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.37109
• ∫_0.75¹ (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.85938

Bước 4: Tổng hợp các kết quả tính được từ các phân đoạn để tìm ra kết quả của bài toán:

∫₀¹ (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.02734 + 0.15625 + 0.37109 + 0.85938 ≈ 1.41306

Vậy, kết quả tích phân từng phần của hàm số f(x) trên đoạn từ 0 đến 1 là 1.41306.

Kết luận

Phương pháp tích phân từng phần giúp giải quyết bài toán tích phân một cách dễ dàng và nhanh chóng bằng cách chia đoạn tích phân thành các phân đoạn đơn giản hơn, tính tích phân của từng phân đoạn, và tổng hợp các kết quả tính được từ các phân đoạn. Đây là một trong những phương pháp tính tích phân cơ bản và được sử dụng rộng rãi trong giải tích.

Nguồn tham khảo: https://www.math24.net/iterated-integrals/