Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Việc vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài tập là một trong những nội dung kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình lớp 8 mà chúng còn được sử dụng thường xuyên ở các lớp học sau này. Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng các ví dụ cụ thể để các em có thể nắm vững kiến thức về các hằng đẳng thức, rèn luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong các dạng toán.

Kiến thức cần nhớ về 7 hằng đẳng thức

1. Lập phương của một hiệu (A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3

Ví dụ: Tính (2a – b)^3

(2a – b)^3 = 2a^3 – 3(2a^2b) + 3(2ab^2) – b^3 = 8a^3 – 12a^2b + 6ab^2 – b^3

2. Tổng hai lập phương A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích x^3 + 64

x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 – 4x + 16)

3. Hiệu hai lập phương A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x^3 – y^3

8x^3 – y^3 = (2x)^3 – y^3 = (2x – y)[(2x)^2 – (2x)y + y^2] = (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)

Chú ý: a + b = -(-a – b); (a + b)^2 = (-a – b)^2; (a – b)^2 = (b – a)^2; (a + b)^3 = -(-a – b)^3; (a – b)^3 = -(-a + b)^3

Các Dạng Toán Áp Dụng 7 Hằng Đẳng Thức

1. Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức A = x^2 – 4x + 4 tại x = -1

A = x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2

Tại x = -1: A = (-1 – 2)^2 = 9

Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

2. Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)^2 + (x + 1)(3 – x)

A = (x – 1)^2 + (x + 1)(3 – x) = x^2 – 2x + 1 – x^2 + 3x + 3 – x = 4: hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 1: Tìm giá trị của biểu thức

Ví dụ:

Tính giá trị của biểu thức A = 2x + 3 khi x = 5.

Lời giải:

Khi x = 5, ta có:

A = 2x + 3 = 2(5) + 3 = 13.

⇒ Kết luận: Giá trị của biểu thức A = 13.

Dạng 2: Tìm giá trị của x thỏa mãn điều kiện

Ví dụ:

Tìm giá trị của x sao cho 2x + 3 = 7.

Lời giải:

Ta có phương trình 2x + 3 = 7.

⇔ 2x = 7 – 3 = 4.

⇔ x = 2.

⇒ Kết luận: Giá trị của x thỏa mãn là x = 2.

Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của A với biểu thức: A = (x – 1)² + 4.

Lời giải:

Ta có:

A = (x – 1)² + 4 = x² – 2x + 1 + 4 = x² – 2x + 5.

Do đó: A = (x – 1)² + 4 ≥ 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4. Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.

⇒ Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là Amin = 4 khi và chỉ khi x = 1.

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x – x².

Lời giải:

Ta có:

A = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 – 4x + x²) = 4 – (x² – 4x + 4) = 4 – (x – 2)².

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 – (x – 2)² ≤ 4 (cộng 2 vế với 4)</

Dạng 1: Tìm nghiệm của phương trình bậc nhất

Ví dụ:

Giải phương trình sau: 2x + 5 = 9

Lời giải:

Ta có phương trình 2x + 5 = 9

Đưa số 5 sang bên trái, ta được:

2x = 9 – 5 = 4

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

x = 2

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

Dạng 2: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ:

Giải phương trình sau: x² – 3x – 10 = 0

Lời giải:

Ta có phương trình x² – 3x – 10 = 0

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

Δ = b² – 4ac = (-3)² – 4(1)(-10) = 49

Có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (-b + √Δ) / (2a) = (3 + 7) / 2 = 5/2

x₂ = (-b – √Δ) / (2a) = (3 – 7) / 2 = -2

Vậy nghiệm của phương trình là x₁ = 5/2 hoặc x₂ = -2

Dạng 3: Tìm giá trị của hàm số

Ví dụ:

Tìm giá trị của hàm số y = 2x – 3 khi x = 4

Lời giải:

Khi x = 4, ta có:

y = 2x – 3 = 2(4) – 3 = 5

Vậy giá trị của hàm số là y = 5 khi x = 4

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x² – 4x + 3 trên đoạn [-1, 5]

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số là y’ = 2x – 4</

Dạng 5: Giải phương trình bậc hai

Ví dụ: Giải phương trình x^2 – 5x + 6 = 0

* Lời giải:

• Ta có: Δ = b^2 – 4ac = 25 – 4.1.6 = 1
• Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• x1 = (5 + 1)/2 = 3
• x2 = (5 – 1)/2 = 2
• ⇒ Kết luận, vậy nghiệm của phương trình là: x1 = 3; x2 = 2

Dạng 6: Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức I = (x^2 – 1)/(x + 1) tại x = -1

* Lời giải:

• Ta có :
• I = ((-1)^2 – 1)/(-1 + 1) = 0/0 (Không xác định giá trị)
• Tuy nhiên, ta có thể chú ý rằng :
• I = ((x^2 – 1)/(x + 1)) = (((x + 1)(x – 1))/(x + 1)) = x – 1 (với x khác -1)
• ⇒ Kết luận, vậy: I = -2 tại x = -1

Dạng 7: Thực hiện phép tính phân thức

Ví dụ: Tính giá trị của phân thức P = (2x + 1)/(x – 1) tại x = 3

* Lời giải:

• Ta có :
• P = (2x + 1)/(x – 1) = ((2.3) + 1)/(3 – 1) = 7/2
• ⇒ Kết luận, vậy: P = 7/2 tại x = 3

Bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng: (10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25

* Lời giải:

• Ta có: (10a + 5)^2 = (10a)^2 + 2.10a.5 + 5^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
• Đặt A = a(a + 1). Khi đó ta có:
• (10a + 5)^2 =

Bài 1: Hằng đẳng thức

a) Hằng đẳng thức

Ta có hằng đẳng thức: x² + 2.x.3y + (3y)² = (x + 3y)² hay x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)².

b) Hằng đẳng thức tương đương

Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (A-B)² với:

• B² = 25y² = (5y)² ⇒ B = 5y
• 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x

Vậy ta có hằng đẳng thức: x² – 10xy + 25y² = (x – 5y)².

c) Bài tập tương tự

Đề bài tương tự:

• 9x² + 12xy + … = (… + 4y²)
• … – 4xy + y² = (… – …)²

Bài 2: Tính giá trị biểu thức

a) Tính giá trị của biểu thức x³ + 12x² + 48x + 64 tại x = 6

x³ + 12x² + 48x + 64 = x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ = (x + 4)³

Tại x = 6, giá trị biểu thức là: (6 + 4)³ = 10³ = 1000.

b) Tính giá trị của biểu thức x³ – 6x² + 12x – 8 tại x = 22

x³ – 6x² + 12x – 8 = x³ – 3.x².2 + 3.x.2² –

Bài 30 trang 16 SGK toán 8 tập 1:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

= (x3 + 33) – (54 + x3)

= x3 + 27 – 54 – x3

= –27

b) (2x + y)(4×2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4×2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2]

= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3]

= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3

= 2y3

Bài 31 trang 16 SGK toán 8 tập 1:

Chứng minh rằng:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Biến đổi vế phải ta được:

VP = (a + b)3 – 3ab(a + b)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

= a3 + b3 = VT

– Kết luận, vậy: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Biến đổi vế phải ta được:

VP = (a – b)3 + 3ab(a – b)

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

= a3 – b3 = VT

– Kết luận, vậy: a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng:

Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

= (–5)3 – 3.6 = -125 – 18 = -143

Rút gọn các biểu thức

Bài 34 trang 17 SGK Toán 8 tập 1:

a) (a + b)² – (a – b)²

Cách 1: Áp dụng hệ đẳng thức (A + B)(A – B) với A = a + b và B = a – b

= [(a + b) – (a – b)] . [(a + b) + (a – b)]

= 2b . 2a = 4ab

Cách 2: Áp dụng (A + B)² và (A – B)²

= a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

= 4ab

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) – 2b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³ – 2b³

= (a³ – a³) + (3a²b + 3a²b) + (3ab² – 3ab²) + (b³ + b³ – 2b³)

= 6a²b

c) (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)²

[Áp dụng HĐT (A – B)² với A = x + y + z và B = x + y]

= [(x + y + z) – (x + y)]² = z²

Một số bài tập vận dụng 7 hàng đẳng thức luyện tập

Bài tập 1:

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của 1 tổng hay 1 hiệu:

a) $x^2 + 5x + \frac{25}{4} = \left(x+\frac{5}{2}\right)^2$

b) $16x^2 – 8x + 1 = \left(4x-1\right)^2$

c) $4x^2 + 12xy + 9y^2 = \left(2x+3y\right)^2$

d) $(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1 = \left(x^2+9x+19\right)^2$

Bài tập 2:

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của 1 tổng hay 1 hiệu:

a) $x^3 + 3x^2 + 3x +1 = \left(x+1\right)^3$

b) $27x^3 – 9x^2 + x – \frac{1}{27} = \left(3x-\frac{1}{3}\right)^3$

c) $8x^6 + 12x^4y + 6x^2y^2 + y^3 = \left(2x^2+y\right)^3$

d) $(x+y)^3(x-y)^3 = \left(x^2-y^2\right)^3$

Bài tập 3:

Rút gọn biểu thức:

a) $A = (2x+3)^2 – 2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)^2 = 4$

b) $B = (x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2-1) = x^6-1$

c) $C = (x+y-z)^2 + (x-y+z)^2 – 2(y-z)^2 = 2x^2$

d) $D = (x+y+z)^2 + (x-y-z)^2 – 2(y-z)^2 = 2(x^2+4yz)$

Bài tập 4:

Điền đơn thức thích hợp vào dấu *:

a) $8x^3 + 27y^3 + 54x^2y – 54xy^2 = \left(2x+3y\right)^3$

b) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = \left(2x+y\right)^3$

c) $x^3 – 6xy^2 = \left(x-2y\right)^3$

https://www.youtube.com/watch?v=ec5jNTjGNwU

Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A3y_h%E1%BA%B1ng_%C4%91%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c_%C4%91%C3%A1ng_nh%E1%BB%9B