Kiến thức Toán phổ thông quan trọng

Tính góc giữa 2 vectơ trong mặt phẳng và trong không gian là một phần kiến thức Toán phổ thông vô cùng quan trọng. Để giúp các em học sinh và sinh viên có thêm nhiều kiến thức và kỹ năng trong việc giải toán này, Cao đẳng nghề Việt Mỹ đã chia sẻ công thức tính góc giữa 2 vectơ trong mặt phẳng và trong không gian cùng với nhiều dạng bài tập thường gặp.

Công thức tính góc giữa 2 vectơ? Hướng dẫn tính góc giữa 2 vectơ đơn giản và dễ hiểu

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Góc giữa hai vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn tương tự góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không thì góc giữa hai vectơ đó không xác định (đôi khi một số tài liệu cũng coi góc giữa hai vectơ đó bằng 0). Trong trường hợp cả hai vectơ đều khác vectơ không, ta tiến hành đưa về chung gốc.

Từ định nghĩa trên, ta suy ra được một số tính chất của góc giữa hai vectơ. Chẳng hạn, góc giữa hai vectơ bằng 0 độ khi và chỉ khi hai vectơ đó cùng chiều, góc giữa hai vectơ bằng 180 độ khi và chỉ khi hai vectơ đó ngược chiều và góc giữa hai vectơ bằng 90 độ khi và chỉ khi hai vectơ đó vuông góc.

Xem Thêm: tổng hợp hình ảnh cô giáo xinh đẹp

Công thức tính góc giữa 2 vectơ

Định nghĩa:

Góc giữa 2 vectơ được định nghĩa là góc nhỏ nhất giữa 2 đường thẳng tạo bởi 2 vectơ đó khi chúng được đặt chung gốc.

Công thức:

Để tính góc giữa 2 vectơ a và b, ta sử dụng công thức sau:
cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|)
trong đó:
· là phép nhân vector
|a| là độ dài vector a
|b| là độ dài vector b
θ là góc giữa 2 vectơ a và b

Hướng dẫn tính góc giữa 2 vectơ đơn giản và dễ hiểu

Bước 1: Tính tích vô hướng của 2 vectơ a và b bằng cách lấy tích các thành phần của chúng và cộng lại: a·b = axbx + ayby + azbz
Bước 2: Tính độ dài của vectơ a và b: |a| = √(ax^2 + ay^2 + az^2) và |b| = √(bx^2 + by^2 + bz^2)
Bước 3: Áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa 2 vectơ a và b.
Bước 4: Sử dụng công thức θ = acos(cos(θ)) để tính góc θ giữa 2 vectơ a và b.

Tóm lại, để tính góc giữa 2 vectơ, ta cần tính tích vô hướng của chúng và độ dài của từng vectơ, sau đó áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa chúng và cuối cùng tính góc θ bằng công thức θ = acos(cos(θ)).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ: Cho 2 vectơ a = (2, 3, 4) và b = (1, -1, 2). Tính góc giữa 2 vectơ này.
Bước 1: Tính tích vô hướng của 2 vectơ a và b: a·b = 2×1 + 3x(-1) + 4×2 = 2 – 3 + 8 = 7
Bước 2: Tính độ dài của vectơ a và b: |a| = √(2^2 + 3^2 + 4^2) = √29 và |b| = √(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = √6
Bước 3: Áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa 2 vectơ a và b: cos(θ) = 7 / (√29 x √6) ≈ 0.725
Bước 4: Sử dụng công thức θ = acos(cos(θ)) để tính góc θ giữa 2 vectơ a và b: θ ≈ acos(0.725) ≈ 43.4 độ.
Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là khoảng 43.4 độ.

Xem Thêm: 1 byte bằng bao nhiêu bit?

Tính góc giữa 2 vectơ là một bài toán quan trọng trong hình học và các lĩnh vực khoa học khác như vật lý, toán học, kỹ thuật, công nghệ,… Khi hiểu rõ về công thức và cách tính góc giữa 2 vectơ, bạn có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế để giải quyết vấn đề và tìm ra các giải pháp hiệu quả.

Những dạng bài tập thường gặp

Trong các bài tập liên quan đến tính góc giữa hai vectơ, chúng ta cần áp dụng các công thức và tính chất liên quan. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp: