Môn Toán lớp 12 tập trung vào kiến thức phương trình mặt cầu, là phần kiến thức trọng tâm và xuất hiện trong nhiều đề thi quan trọng. Để giúp các thầy cô và học sinh nắm vững kiến thức này hơn, chia sẻ bài viết với phần lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp.
LÝ THUYẾT VỀ MẶT CẦU, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Mặt cầu là gì?
Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là bán kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu.
2. Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu được viết dưới dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
Với:
- (a, b, c) là tọa độ của tâm mặt cầu.
- r là bán kính của mặt cầu.
- (x, y, z) là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt cầu.
Phương trình mặt cầu và giải tích trên mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu trong không gian ba chiều
Phương trình mặt cầu trong không gian ba chiều có dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
Trong đó (a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu và r là bán kính của mặt cầu.
2. Giải tích trên mặt cầu
Có nhiều phương pháp giải tích trên mặt cầu, trong đó phổ biến là giải bài toán tìm mặt cầu biết tâm và bán kính. Cụ thể:
2.1. Tìm mặt cầu biết tâm và bán kính
Để tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm đến một đường thẳng hoặc mặt phẳng theo giả thuyết đề cho.
- Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, tính độ dài đường tròn giao tuyến hoặc dây cung trên mặt cầu.
- Bước 3: Áp dụng định lý Pythagoras để tính bán kính mặt cầu.
Các dạng phương trình mặt cầu
1. Phương trình chính tắc
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I(a;b;c) bán kính R. Phương trình chính tắc của (S) là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2. Phương trình tổng quát
Nếu a2 + b2 + c2 – d > 0 thì phương trình sau đây là phương trình tổng quát của (S):
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)
Tọa độ tâm của (S) có phương trình (1) là I(a;b;c) và bán kính của (S) được tính theo công thức:
R = √a2 + b2 + c2 – d
3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S): (x−a)2 + (b−y)2 + (c−z)2 = R2 có tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ
Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng Δ:
- d > R:
- Đường thẳng Δ không cắt mặt cầu (S)
- d = R:
- Đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S)
4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S): (x−a)2 + (b−y)2 + (c−z)2
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁC ĐẶC ĐIỂM
Phương trình mặt cầu là phương trình có dạng:
(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
trong đó (a, b, c) là tọa độ của tâm mặt cầu và R là bán kính.
Để viết phương trình mặt cầu, chúng ta cần biết tọa độ của tâm và bán kính. Có một số cách để xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
1. Tìm tâm và bán kính từ đường tròn cắt mặt cầu
Nếu mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K, thì tâm I của mặt cầu là hình chiếu của K lên (P) và bán kính R = √(R2 – d2(I, P)), trong đó d(I, P) là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).
2. Tìm tâm và bán kính từ phương trình của mặt cầu
Nếu phương trình mặt cầu có dạng:
(S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
thì tâm I của mặt cầu có tọa độ (a, b, c) và bán kính R = √(a2 + b2 + c2 – d).
Để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu, cần thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0.
CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THƯỜNG GẶP
Dưới đây là các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tọa độ tâm và bán kính
Ta có:
- a = m – 3; b = m + 1; c = m; d = 2m2 + 7
- Điều kiện để (S) là mặt cầu là a2 + b2 + c2 – d > 0
- ⇔ m2 – 4m + 3 > 0
- Vậy phương trình mặt cầu là (a – m)2 + (b – m)2 + (c – m)2 = 2m2 + 7 – m2
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
Ví dụ minh họa:
- Ví dụ 1: Mặt cầu (S) tâm I(-1; 2; -3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 6 = 0 có phương trình:
- (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 1
- Ví dụ 2: Cho các điểm A(-2; 4; 1); B(2; 0; 3) và đường thẳng . Gọi (S) là mặt cầu đi qua A; B và có tâm thuộc đường thẳng d. Bán kính mặt cầu (S) bằng:
- Bán kính mặt cầu (S) là 3
Đề bài yêu cầu tìm phương trình mặt cầu (S) có tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 5; 1) trên mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z + 24= 0 và điểm A nằm trong mặt cầu đó.
Ta có thể giải bài toán theo các bước sau:
Bước 1: Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Ta lấy các hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng và đặt chúng vào vector a = (6, 3, -2).
Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = a/ ||a|| = (6/7, 3/7, -2/7).
Bước 2: Tìm điểm H.
Để tìm điểm H, ta cần tìm đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với (P). Vì vậy, ta lấy vector pháp tuyến của (P) và vector đi qua A và vuông góc với (P) để tìm được vector hướng của đường thẳng.
Vector hướng của đường thẳng này là bằng tích vector của hai vector này, tức là tìm được vector bằng tích vector của vector pháp tuyến n và vector đi qua A và vuông góc với (P).
Vậy vector hướng của đường thẳng là b = n x OA, trong đó OA = (x – 2, y – 5, z – 1).
Ta tính được vector hướng của đường thẳng là b = (6/7, 3/7, -2/7) x (x – 2, y – 5, z – 1) = (-6/7, 12/7, 9/7).
Đường thẳng đi qua A và có vector hướng b là:
{(x, y, z) = (2, 5, 1) + t(-6/7, 12/7, 9/7)}.
Tìm H là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Do đó, ta cần tìm giao điểm giữa đường thẳng và (P).
Thay t = -1 vào đường thẳng để tìm tọa độ của H:
H = (-4, 2, 3).
Bước 3: Tìm bán kính R của mặt cầu (S).
Vì A nằm trên mặt cầu (S) nên khoảng cách từ A đến tâm O của mặt cầu bằng bán kính R của mặt cầu:
OA = OH + HA
Ta có: OA =
Dạng 3: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.
1. Cách giải:
Cách 1:
- Gọi phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*) (với a2 + b2 + c2 – d > 0)
- Thay tọa độ bốn điểm A, B, C, D vào phương trình (*), ta được hệ 4 phương trình.
- Giải hệ trên tìm được a, b, c, d (chú ý đối chiếu điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0). Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu cần lập.
Cách 2:
- Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Suy ra:
- Giải hệ trên để tìm a, b, c.
- Tìm bán kính R = IA. Từ đó, viết phương trình mặt cầu cần tìm có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2. Ví dụ minh họa: Nếu mặt cầu (S) đi qua bốn điểm M(2; 2;2); N( 4; 0; 2); P( 4; 2; 0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:
A. (-1;-1; 0) B.
Giải bài toán phương trình mặt cầu
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tọa độ tâm và bán kính
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ tâm của mặt cầu là I(a, b, c) và bán kính của mặt cầu là R. Khi đó, phương trình mặt cầu có dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Ví dụ: Cho tâm I(1, 2, 3) và bán kính R = 4. Phương trình mặt cầu là:
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tọa độ ba điểm trên mặt cầu
Hướng dẫn giải:
Gọi ba điểm trên mặt cầu là A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) và C(x3, y3, z3). Khi đó, phương trình mặt cầu có dạng:
x2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz + G = 0
với:
D = | x1 y1 z1 1 |
| x2 y2 z2 1 |
| x3 y3 z3 1 |
E = | x12 + y12 + z12 y1 z1 1 |
| x22 + y22 + z22 y2 z2 1 |
| x32 + y32 + z32 y3 z3 1 |
F = | x1</sub
Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/M%E1%BA%B7t_c%E1%BA%A7u