Phương trình tham số là phương trình được xác định bởi hệ các hàm số của một hoặc nhiều biến độc lập, gọi là các tham số. Phương trình tham số thường được sử dụng để biểu diễn các tọa độ của các điểm thuộc đối tượng hình học như đường cong hoặc bề mặt.
Vecto chỉ phương
Cho đường thẳng d, vecto gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu có giá trị song song hoặc trùng với d. Ví dụ, nếu vecto chỉ phương của d là u→ thì vecto chỉ phương khác của d là λu→ (λ là một số thực).
Ngoài ra, vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau. Hay nói cách khác, vecto chỉ phương của d là thì vecto pháp tuyến là .
Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
Để viết phương trình tham số của đường thẳng, chúng ta cần biết điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0) và có vecto chỉ phương u→ là:
(x, y) = (x0, y0) + t u→
Trong đó t là tham số, (x0; y0) là tọa độ điểm A.
Đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
ax + by + c = 0
Với (a; b ≠ 0)
Nếu đường thẳng d không có điểm chung với trục y, phương trình tham số của d là:
(x, y) = (x0, y0) + t (1, a)
Trong đó t là tham số, a là hệ số góc của đường thẳng d.
Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Khái niệm đường thẳng và phương trình đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng là tập hợp các điểm M(x,y) có thể viết thành cặp số thực (x,y) thỏa mãn một phương trình bậc nhất có dạng: ax + by + c = 0, trong đó a, b, c là các số thực, a và b không cùng bằng 0.
Phương trình ax + by + c = 0 chính là phương trình đường thẳng. Các hằng số a, b và c được gọi là các hệ số của phương trình đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian ba chiều, để cho phương trình của một đường thẳng đầy đủ, ta cần 2 phương trình bậc nhất có hai ẩn x, y và z. Tuy nhiên, trong mặt phẳng tọa độ, để tìm phương trình đường thẳng, ta chỉ cần tìm phương trình tham số của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng là một cách biểu diễn khác của đường thẳng dưới dạng véc tơ, được xác định bởi một điểm trên đường thẳng và một véc tơ chỉ phương của đường thẳng. Cụ thể, nếu ta biết được vectơ chỉ phương u→ của đường thẳng và điểm M(x0, y0) nằm trên đường thẳng, thì ta có thể viết phương trình tham số của đường thẳng dưới dạng:
x = x0 + at
y = y0 + bt
Trong đó, t là tham số biến đổi, a và b là hai hằng số được xác định bởi vectơ chỉ phương u→: a = ux và b = uy.
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Để viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương u→ và một điểm M(x0, y0) nằm trên đường thẳng, ta áp dụng công thức:
x = x0 + at
y = y0 + bt
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng khi biết hệ số góc a và tiếp tuyến tại gốc tọa độ, ta áp dụng công thức:
y = ax
Ví dụ, nếu đường thẳng có hệ số góc a=2 và tiếp tuyến tại gốc tọa độ, thì phương trình chính tắc của đường thẳng là y=2x.
Tuy nhiên, nếu đường thẳng không qua gốc tọa độ, ta cần dịch chuyển đường thẳng để đưa về trường hợp đã biết. Ví dụ, nếu đường thẳng có phương trình chính tắc là y = 2x + 3, ta có thể dịch chuyển đường thẳng bằng cách lấy 3 đơn vị từ phía bên phải qua phía bên trái để đưa về trường hợp tiếp tuyến tại gốc tọa độ, và ta có phương trình chính tắc mới là y = 2x – 3. Sau đó, ta có thể sử dụng công thức trên để chuyển sang phương trình tham số của đường thẳng.
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -7) và B( 1; -7) có phương trình tham số là:
A. {(x,y) = (3 – 2t, -7)}
B. {(x,y) = (1 + 2t, -7)}
C. {(x,y) = (3 + 2t, -7)}
D. {(x,y) = (1 – 2t, -7)}
Giải:
Ta có đường thẳng AB:
Tính vector chỉ phương của đường thẳng AB:
AB→ = B→ – A→ = (-2; 0)
Vậy phương trình tham số của AB là: AB: {(x,y) = (3,-7) + t(-2,0)} = {(x,y) = (3 – 2t, -7)}
Chọn A.
Bài 2:
Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u→ = (-1; 2) có phương trình tham số là:
A. {(x,y) = t(-1,2)}
B. {(x,y) = t(2,-1)}
C. {(x,y) = t(1,-2)}
D. {(x,y) = t(-2,1)}
Giải:
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng là: u→ = (-1; 2)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: d: {(x,y) =t(-1,2)}
Chọn A.
Bài 3:
Cho 3 điểm A(-2; 1), B(-1; 5), C(-2; -3)
a. Viết phương trình tham số AB, AC.
b. Viết phương trình tham số đường trung trực cạnh BC.
c. Viết phương trình đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC.
Giải:
a. Phương trình tham số của AB là: AB: {(x,y) = (-2,1) + t(1,4)}
Phương trình tham số của AC là: AC: {(x,y) = (-2,1) + t(0,-4)}
b. Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC. Ta có: M(–1,1) và vector pháp tuyến của đường trung trực bằng với vector chỉ phương của AB: (4, -1). Vậy phương trình tham số của đường trung trực là: {(x,y) = (-1,1) + t(4,-1)}
c. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua trung điểm N của BC và có vector chỉ phương bằng với vector chỉ phương của AB. Ta có N(-1,1) và vector chỉ phương của AB là (1,4), vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là: {(x,y) = (-1,1) + t(1,4)}
Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_tham_s%E1%BB%91
