Hình chữ nhật là gì ?

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành. ABCD là hình chữ nhật ⇔ ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=90∘.

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành cũng là một hình thang cân.

Đường chéo hình chữ nhật là gì?

Đường chéo hình chữ nhật là đường thẳng nối hai góc đối diện của hình chữ nhật. Mỗi hình chữ nhật có hai đường chéo với độ dài bằng nhau.

Đặc điểm của đường chéo hình chữ nhật

Độ dài hai đường chéo trong hình chữ nhật bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hai đường chéo cắt nhau tạo ra 4 tam giác cân. Hai đường chéo của hình chữ nhật vuông góc với nhau là hình vuông.

CÔNG THỨC TÍNH ĐƯỜNG CHÉO HÌNH CHỮ

Đường chéo của hình chữ nhật có thể được tính bằng công thức:

Đường chéo = căn bậc hai của ( chiều dài hình chữ nhật ^ 2 + chiều rộng hình chữ nhật ^ 2 )

Với chiều dài và chiều rộng lần lượt là độ dài các cạnh của hình chữ nhật.

Công thức tính đường chéo hình chữ nhật thực chất được suy ra từ định lý Pytago tính cạnh huyền tam giác vuông. a² + b² = c²

⇒ c = √a² + b²

Trong đó:

c là đường chéo hình vuông.
a, b là cạnh bên hình vuông.

Cách để tìm độ dài đường chéo hình chữ nhật

Để tìm độ dài đường chéo hình chữ nhật các bạn có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau đây.

a. Sử dụng diện tích và chu vi hình chữ nhật

Khi bài toán cho trước diện tích và chu vi ta có thể tính độ dài đường chéo bằng cách quy về độ dài một cạnh sau đó thế vào phương trình bậc hai để tìm độ dài cạnh đó và suy ra độ dài cạnh còn lại. Khi có được độ dài hai cạnh ta dùng định lý Pytago để tính được độ dài đường chéo. Cụ thể:

Diện tích hình chữ nhật là: S = a.b
Chu vi hình chữ nhật là P = 2(a + b)

Xem Thêm: Trực tâm là gì? Tìm hiểu khái niệm trực tâm và tính chất của nó

Từ công thức tính diện tích có thể suy ra ⇒ a = S/b

Thế vào công thức tính chu vi P = 2((S/b)+ b) ⇒ Pb = 2S + 2b²

Từ đó ta có thể tính được độ dài hai cạnh của hình chữ nhật. Khi có được độ dài hai cạnh ta dùng định lý Pytago để tính được độ dài đường chéo.

b. Sử dụng độ dài hai cạnh

Ta áp dụng định lý Pytago để tính được độ dài đường chéo:

a² + b² = c²

⇒ c = √a² + b²

c. Sử dụng diện tích và mối quan hệ giữa độ dài các cạnh

Khi bài toán cho trước diện tích và mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của hình chữ nhật, ta có thể áp dụng công thức tính diện tích của hình chữ nhật để giải quyết vấn đề này.

Công thức tính diện tích của hình chữ nhật là: Diện tích = chiều dài x chiều rộng

Vì vậy, khi biết diện tích và mối quan hệ giữa độ dài các cạnh, ta có thể giải quyết bài toán bằng cách sử dụng công thức sau:

Gọi x là độ dài của chiều rộng hình chữ nhật
Vì diện tích hình chữ nhật là tích của hai cạnh, nên chiều dài của hình chữ nhật sẽ là diện tích chia cho chiều rộng: chiều dài = diện tích / chiều rộng = S / x
Mối quan hệ giữa độ dài các cạnh hình chữ nhật được thể hiện bởi công thức: chiều dài = 2 x chiều rộng
Kết hợp hai công thức trên, ta có thể giải phương trình sau: 2x^2 = S
Từ đó, tính được giá trị của x: x = căn bậc hai của (S/2)
Sau đó, tính được chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật từ giá trị của x: chiều dài = 2x và chiều rộng = x.

Với phương pháp này, chúng ta có thể tính toán độ dài của các cạnh hình chữ nhật dựa trên diện tích và mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của nó.

CÁCH TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CHÉO HÌNH CHỮ NHẬT

DẠNG 1: TÌM ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CHÉO HÌNH CHỮ NHẬT KHI BIẾT DIỆN TÍCH HOẶC CHU VI

Xem Thêm: Lý thuyết hình chữ nhật? Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Cụ thể:

Diện tích hình chữ nhật là: S = a.b
Chu vi hình chữ nhật là P = 2(a + b)

Từ công thức tính diện tích có thể suy ra: a = S/b

Thế vào công thức tính chu vi P = 2((S/b)+ b) ⇒ Pb = 2S + 2b²

Ví dụ:

Cho hình chữ nhật có chu vi bằng 28cm, hai cạnh của nó hơn kém nhau 2cm.

DẠNG 2: TÌM ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CHÉO HÌNH CHỮ NHẬT KHI BIẾT ĐỘ DÀI HAI CẠNH

Khi đã biết độ dài hai cạnh của hình chữ nhật, ta dùng định lý Pytago để tính được độ dài đường chéo.

Cụ thể:

Độ dài cạnh a = x + b
Công thức tính diện tích S = a.b

Ta thế mối quan hệ về độ dài hai cạnh vào công thức diện tích ta có: S = (x + b).b ⇒ S = bx + b²

Lúc này ta chỉ cần tính phương trình bậc hai là ra độ dài 1 cạnh và suy ra cạnh còn lại. Khi có được độ dài hai cạnh ta dùng định lý Pytago để tính được độ dài đường

Dạng 3: Tìm độ dài đường chéo hình chữ nhật khi biết hai cạnh

Phương pháp: Ta áp dụng định lý Pythagoras để tính được độ dài đường chéo:

c = √(a² + b²)

Ví dụ:

Cho hình chữ nhật có chiều rộng là 6m và chiều dài là 8m. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó.
- Giải:
- Ta có chu vi hình chữ nhật bằng 28cm, do đó a + a + 2 = 28 => a = 6m
- Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 6m và chiều dài của hình chữ nhật là 8m.
- Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: c = √(6² + 8²) = 10m

Dạng 4: Tìm độ dài đường chéo hình chữ nhật khi biết độ dài hai cạnh

Phương pháp: Ta áp dụng định lý Pythagoras để tính được độ dài đường chéo:

c = √(a² + b²)

Ví dụ:

Cho hình chữ nhật ABCD, có cạnh AB = 3cm và cạnh AD = 4cm. Tính độ dài đường chéo AC, BD của hình chữ nhật.
- Giải:
- Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: AC = BD = √(3² + 4²) = 5cm

Bài tập vận dụng

Bài 1:

Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật biết chiều dài bằng 10dm và chiều rộng bằng 5dm.

Giải:
Gọi độ dài đường chéo hình chữ nhật là a (a > 0, dm)
Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: a = √(10² + 5²) = 5√5 dm

Xem Thêm: Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu dễ dàng và bài tập ứng dụng

Bài 2:

Cho hình chữ nhật có chiều rộng là a (a > 0, m) và chiều dài là a + 7 (m). Với đường chéo của hình chữ nhật bằng 13m, ta áp dụng định lý Pitago để tính toán:

c² = a² + (a+7)²

c = 13m

Sau khi giải phương trình, ta được chiều rộng của hình chữ nhật là 5m và chiều dài là 12m. Vậy chu vi của hình chữ nhật đó là: (5 + 12).2 = 34m, và diện tích của hình chữ nhật là: 12.5 = 60m².

Bài 3:

Cho hình chữ nhật có chu vi là 28cm, và hai cạnh của nó hơn kém nhau 2cm. Giải bài toán theo các bước sau:

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là a (a > 0, m), và chiều dài của hình chữ nhật là a + 2 (m).
Áp dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật: (a + a + 2).2 = 28.
Giải phương trình để tìm giá trị của a.
Sau khi tìm được giá trị của a, ta tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật bằng cách áp dụng định lý Pitago: d² = a² + (a+2)².

Sau khi giải toán, ta được chiều rộng của hình chữ nhật là 6m và chiều dài là 8m. Vậy độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó là d = 10cm.

Bài 4:

Cho hình chữ nhật có chu vi bằng 32m và diện tích bằng 60m².

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x, chiều dài của nó là y.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

2x + 2y = 32 (1) (vì chu vi của hình chữ nhật bằng 2 x chiều dài + 2 x chiều rộng)
xy = 60 (2) (vì diện tích của hình chữ nhật bằng tích của chiều dài và chiều rộng)

Giải hệ phương trình (1) và (2), ta được: