Cách tính độ dài trung tuyến trong tam giác và ứng dụng trong giải toán

LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện, và mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến. Đây là công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác:

Độ dài đường trung tuyến trong tam giác = 1/2 x độ dài cạnh đối diện xác định

Với tam giác ABC, ta có:

• Đường trung tuyến từ đỉnh A: Từ A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BC tại D, ta có: AD = 1/2 BC.
• Đường trung tuyến từ đỉnh B: Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AC tại E, ta có: BE = 1/2 AC.
• Đường trung tuyến từ đỉnh C: Từ C vẽ đường thẳng song song với AB cắt AB tại F, ta có: CF = 1/2 AB.

Trong tam giác, trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối với đỉnh đó. Độ dài trung tuyến được tính bằng nửa độ dài cạnh tương ứng với trung tuyến đó.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông

Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau. – Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân: đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối. Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh trong tam giác, ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác.

Để tính độ dài trung tuyến trong tam giác ABC với trung tuyến từ đỉnh A, ta có công thức:

Độ dài trung tuyến từ đỉnh A = 1/2 x độ dài cạnh BC

Tương tự, độ dài trung tuyến từ đỉnh B và đỉnh C lần lượt được tính bằng:

Độ dài trung tuyến từ đỉnh B = 1/2 x độ dài cạnh AC

Độ dài trung tuyến từ đỉnh C = 1/2 x độ dài cạnh AB

Ứng dụng của độ dài trung tuyến trong giải toán

Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác rất hữu ích trong giải toán. Một số bài tập liên quan đến tính độ dài trung tuyến trong tam giác gồm:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b² + c² = 5a² thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Lời giải:

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt BE = mb, CD = mc.

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

Bài tập về tam giác

Bài 1:

Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma, mb, mc. Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

ma = sqrt((b^2 + c^2 – a^2)/4)

mb = sqrt((c^2 + a^2 – b^2)/4)

mc = sqrt((a^2 + b^2 – c^2)/4)

Vậy:

• Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A: ma = sqrt((8^2 + 7^2 – 10^2)/4) = 3.5 cm
• Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh B: mb = sqrt((7^2 + 10^2 – 8^2)/4) = 5.65 cm
• Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh C: mc = sqrt((10^2 + 8^2 – 7^2)/4) = 4.8 cm

Bài 2:

Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC, CE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có HB = HC. Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

• AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
• AH chung
• HB = HC
• ⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1). Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2). DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3). Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung

Bài 3:

Chứng minh AM = BC trong tam giác ABC

a) Chứng minh M là trung điểm của CD

Xét tam giác BDC có AB = AD, suy ra AC là đường trung tuyến của tam giác BCD. Mặt khác, ta có:

• AE = 1/3 AC
• AD = AB

Vậy D và E là hai điểm trên đường thẳng đối của AB và AC sao cho AD = AB và AE = 1/3 AC. Theo định lý trọng tâm, ta có E là trọng tâm tam giác BCD.

Khi đó, tia BE cắt CD tại điểm M, ta có BM là đường trung tuyến của tam giác BCD. Suy ra M là trung điểm của CD.

b) Chứng minh AM = BC

Ta có:

• Điểm trung tâm của tam giác đều là trọng tâm, vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
• M là trung điểm của CD, suy ra CM = MD.

Áp dụng định lí Pappus cho cặp đường thẳng (A,C,B) và (M,C,D), ta có:

• Điểm E là điểm giao của AB và CM.
• Điểm F là điểm giao của BC và MD.
• Điểm G là điểm trọng tâm của tam giác ABC.

Theo định lí Pappus, ta có:

EF // AB, EF // CD, AG // BM

Suy ra tam giác AEF và tam giác BMD đồng dạng. Vậy:

AE/BM = EF/MD = AB/BC = 1

Vậy AM = BE = BC, ta có điều cần chứng minh.

Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC.

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm.

Ta có tam giác ABC vuông mà BC là cạnh huyền, áp dụng định lý Pitago ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm.

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm.

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF² = AB² + AF² ⇒BF² = 18² + 12² = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Trung_tuy%E1%BA%BFn