Trong toán học, vectơ chỉ phương là một khái niệm quan trọng được sử dụng để miêu tả hướng và định hướng của một đường thẳng trong không gian ba chiều.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Cho đường thẳng d, vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d là vectơ v có giá trị bằng vectơ nối điểm gốc và điểm bất kỳ nào trên đường thẳng đó.
Nếu một vectơ u song song hoặc trùng với đường thẳng d, thì vectơ u cũng là VTCP của đường thẳng d. Ngoài ra, VTCP và VTPT (vectơ pháp tuyến) của đường thẳng là hai vectơ vuông góc với nhau.
Từ VTCP và VTPT, chúng ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó.
Cách tìm VTCP của đường thẳng
Để tìm VTCP của đường thẳng, ta cần biết hai điểm trên đường thẳng đó.
Giả sử có hai điểm A(x1, y1, z1) và B(x2, y2, z2) trên đường thẳng d. Ta có thể tìm VTCP của đường thẳng bằng cách lấy hiệu của hai vectơ OA và OB:
v = OB – OA = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Vậy, vectơ v chính là VTCP của đường thẳng d.
Hệ số góc của đường thẳng
Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + b (hoặc kx – y – b = 0).
Hệ số góc của đường thẳng là k. Để tìm VTPT của đường thẳng, ta có thể lấy vectơ u có giá trị bằng (1, k, 0) (nếu k ≠ 0) hoặc (0, 1, 0) (nếu k = 0).
Vectơ chỉ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng
Để tìm vectơ chỉ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng, ta có các bước sau:
- Tìm hệ số góc của đường thẳng bằng công thức
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
. - Vectơ chỉ pháp tuyến của đường thẳng có thành phần
(m, -1)
. - Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng, ta có thể lấy vectơ chỉ pháp tuyến hoặc vectơ nào song song với đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng
Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là v
, ta có công thức:
x = xA + tvx
y = yA + tvy
Trong đó, t
là tham số, xA
và yA
là tọa độ của điểm A, và vx
và vy
là các thành phần của vectơ chỉ phương v
.
Ứng dụng trong mặt phẳng tọa độ
Các bài toán ứng dụng tính chất của vectơ chỉ phương thường gặp nhất bao gồm:
- Xác định vectơ chỉ phương cho trước.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước.
- Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Biện luận, chứng minh phương trình đường thẳng.
Các tính chất của vectơ chỉ phương sẽ xuất hiện xuyên suốt trong các bài tập tổng hợp về phương trình đường thẳng, học sinh cần nắm vững nội dung định nghĩa, tính chất của vectơ pháp tuyến.
Cách tìm vecto chỉ phương
Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng d, một vectơ u→ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu u→ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.
- Nếu vectơ u→(a; b) là VTCP của đường thẳng d thì vectơ k.u→ (với k ≠ 0) cũng là VTCP của đường thẳng d.
- Nếu đường thẳng d có VTPT n→(a; b) thì đường thẳng d nhận vectơ n→(b; -a) và n’→(-b; a) làm VTPT.
Bước 2: Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho đường thẳng d đi qua A(-2; 3) và điểm B(2; m + 1). Tìm m để đường thẳng d nhận u→(2; 4) làm VTCP?
Lời giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vectơ AB→(4; m – 2) làm VTCP. Lại có vectơ u→(2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vectơ u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→
Vậy m = 10 là giá trị cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 2:
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b)?
A. u→(-a; b) B. u→(a; b) C. u→(a + b; 0) D. u→(-a; -b)
Lời giải:
Đường thẳng AB đi qua điểm A và B nên đường thẳng này nhận AB→(-a; b) làm vectơ chỉ phương. Chọn A.
Ví dụ 3:
Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là u→(-2; -5). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:
A. u1→(5; -2) B. u2→(-5; 2) C. u3→(2; 5) D. u4→(2; -5)
Lời giải:
Khi hai đường
thẳng vuông góc nhau thì vectơ chỉ phương của chúng là hai vectơ u→ và v→ đồng thời vuông góc với nhau.
Ta đã biết vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là u→(-2; -5), suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ sẽ là vectơ vuông góc với u→ và có cùng độ dài với u→. Do đó, ta có thể chọn đáp án C. u3→(2; 5) là đáp án đúng.
Đường thẳng và vectơ chỉ phương
Định nghĩa
Đường thẳng là tập hợp các điểm thỏa mãn một phương trình tuyến tính có dạng ax + by + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số và a, b không cùng bằng 0.
Với mỗi đường thẳng, ta có thể tìm được một vectơ chỉ phương, là vectơ có đầu mút ở một điểm trên đường thẳng và đuôi mút ở một điểm khác trên đường thẳng. Các vectơ chỉ phương khác nhau của cùng một đường thẳng đều có cùng hướng và độ dài khác nhau.
Các bước tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Để tìm vectơ chỉ phương của một đường thẳng, ta làm theo các bước sau:
- Chuyển phương trình của đường thẳng về dạng chung ax + by + c = 0.
- Xác định một điểm trên đường thẳng, gọi là điểm A.
- Chọn một điểm khác trên đường thẳng, gọi là điểm B.
- Tính vectơ AB→.
- Chia vectơ AB→ cho độ dài của nó để thu được một vectơ chỉ phương u→.
Bài tập
Bài tập ôn tập
Ví dụ: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3, -4). Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ pháp tuyến là:
- A. n1→ = (4, 3)
- B. n2→ = (-4, 3)
- C. n3→ = (3, 4)
- D. n4→ = (3, –4)
Giải thích: Khi hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia. Vì vậy, vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ cần tìm cũng phải vuông góc với vectơ chỉ phương của d, tức là n3→ = (3, 4).
Bài tập vận dụng
Bài 1:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:
Thực hành tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Câu 1:
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d với phương trình x = 2+3t và y = -3-t.
Đáp án: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(3; -1). Chọn đáp án (B).
Câu 2:
Cho hai điểm A(-3; 2) và B(1; 4). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Đáp án: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u→(2; 1). Chọn đáp án (B).
Câu 3:
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d với phương trình x = 2+3t và y = -3-t = 1.
Đáp án: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(3; -1). Chọn đáp án (B).
Câu 4:
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d với phương trình 2x – 5y – 100 = 0.
Đáp án: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(2; 5). Chọn đáp án (B).
Câu 5:
Cho hai điểm A(2 ; 3) và B(4 ; 1). Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Đáp án: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n→(2; 2). Chọn đáp án (A).
Câu 6:
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox.
Đáp án: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u→(1; 0). Chọn đáp án (A).
Câu 7:
Cho đường thẳng d đi qua A(1; 2) và điểm B(2; m). Tìm m để đường thẳng d nhận (1; 3) làm vectơ chỉ phương.
Đáp án: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→(1; m-2). Vì (1; 3) là vectơ chỉ phương của d nên ta có phương trình:
1 = 1/ (1-m+2)
Từ đó suy ra m = 5. Chọn đáp án (C).
Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Vect%C6%A1