LÝ THUYẾT VỀ HÌNH THOI

1. Định nghĩa Hình thoi

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, là hình bình hành có 2 cạnh liền kề bằng nhau hoặc có đường chéo vuông góc với nhau. Hình thoi là một hình bình hành đặc biệt.

2. Tính chất Hình thoi

Hình thoi là hình có:

Các góc đối diện bằng nhau.
Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hai đường chéo chia các góc ra hình thoi thành 2 góc bằng nhau (đường phân giác).
Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.

3. Dấu hiệu nhận biết Hình thoi

Hình thoi là hình tứ giác đặc biệt:

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.
Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.

Đó là lý thuyết về hình thoi và cách chứng minh tứ giác là hình thoi nhanh nhất. Học sinh cần nhớ những kiến thức này để có thể giải các bài tập liên quan đến hình thoi một cách dễ dàng và chính xác.

Hình thoi là Hình bình hành đặc biệt

Vì hình thoi là một dạng đặc biệt của một hình bình hành nên nó sẽ có đầy đủ tính chất của hình bình hành kèm thêm một số tính chất khác như:

khái niệm về hình thoi và cách chứng minh tứ giác là hình thoi dễ

Hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Xem Thêm: Bảng công thức Đạo hàm và Đạo hàm lượng giác chi tiết

Các cách chứng minh tứ giác là hình thoi cực hay

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, các bạn có thể áp dụng một trong những cách sau đây. Cách nào cũng hay, tùy vào từng bài để vận dụng cách chứng minh nhanh nhất nhé!

Cách 1: chứng minh tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi. Theo bài ra, ta có:

ΔABC cân tại A có trung tuyến AM
AM đồng thời là đường trung trực của BC
Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau. (đ.p.c.m)

Cách 2: chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi. Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD

EH là đường trung bình của tam giác
EH = 1/2 BD (1)
Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF
Tứ giác EFGH là hình thoi do có b

Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo giao nhau tại O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành và là hình thoi.

Gọi OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO có: Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 (đối đỉnh) và OB = OD (giả thiết).
Suy ra ΔBMO = ΔDPO (g.c.g).
Do đó, OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng.
Tương tự, suy ra ON = OQ và N, O, P thẳng hàng.
Từ đó suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù, nên OM vuông góc ON.
Từ đó suy ra tứ giác MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

Cách 4: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

Cho tam giác ABC và điểm D, E trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng tứ giác IMNK là hình thoi.

Do BD = CE, suy ra BM = ME và CN = ND.
Ta có I là trung điểm của DE và K là trung điểm của BC, suy ra IK song song với DE và BC.
Do BM = ME, CN = ND, suy ra MN song song với DE và BC, và MN bằng một nửa của DE và BC.
Do đó, IM = KN và IN = KM.
Từ đó suy ra tứ giác IMNK là hình bình hành.
Vì IM = KN nên IM vuông góc KN, suy ra tứ giác IMNK là hình thoi.

Xem Thêm: 1N bằng bao nhiêu Kg? Bảng quy đổi từ Newton

Bài tập hình thoi

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có AC ⊥ CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình thoi.

1. Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:

AB // CD

AC ⊥ CD

⇒ AB ⊥ AC. Do đó ΔABC vuông ở A, ΔACD vuông ở C.

Do M, N là trung điểm của AD, BC theo giả thiết nên AN, CM thứ tự là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông ABC và ACD

Do đó AN = 1/2 BC; CM = 1/2 AD

Mà AD = BC; AM = MD; BN = NC

⇒ AM = MC = CN = NA

Tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài 2: Cho hình thoi ABCD. Trên hai cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM = DN. Gọi P, Q thứ tự là giao điểm của AM và AN với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác APCQ là hình thoi.

Tứ giác APCQ là hình thoi. Giải thích:

ΔABM = ΔADN (c.g.c)

⇒ A₁ˆ = A₄ˆ, do đó A₂ˆ = A₃ˆ.

Bài 1

Cho ΔABC vuông tại A, góc A = 60ˆ. Đường cao AD cắt BC tại D. Tính tỉ số BD/DC.

Giải:

Ta có:

AD là đường cao của tam giác ABC
ΔABC vuông tại A, góc A = 60ˆ

Vì vậy, ta có:

BD = AB × sin 60ˆ
DC = AC × sin 60ˆ
AB/AC = sin 60ˆ/sin (90ˆ-60ˆ) = √3

Vậy, ta có:

BD/DC = AB/AC = √3.

Bài 2

Cho ΔAPQ cân tại A. Đường cao AO của tam giác APQ cắt PQ tại O. Chứng minh rằng tứ giác APCQ là hình thoi.

Giải:

Ta có:

AO là đường cao của tam giác APQ
ΔAPQ cân tại A

Vậy, ta có:

OP = OQ (vì AO là đường phân giác của tam giác APQ)
OA = OC (vì tam giác APQ cân tại A)

Vì vậy, ta có:

Tứ giác APCQ là tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và đường phân giác của góc ở đỉnh.
Vậy, tứ giác APCQ là hình thoi.

Xem Thêm: Phương trình tham số và ứng dụng trong đường thẳng

Bài 3

Cho ΔABC cân tại A, đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, I là trung điểm của DE. Tứ giác MHIK là hình gì? Vì sao?

Giải:

Để chứng minh tứ giác MHIK là hình thoi, ta cần chứng minh:

M là trung điểm của BD
MH, HI, IK lần lượt là đường trung bình của tam giác BEC, BED, EDC
MH = HI = IK

Ta có:

ΔBDC và ΔCEB là hai tam giác vuông có chung đỉnh C và chung đường cao BC.
Vì ΔABC cân tại A, nên EBCˆ = DCBˆ.
Vậy, ΔBDC = ΔCEB

Chứng minh hình thoi trong Hình học 8

Bài 1: Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

Ta cần chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AAˆ=Bˆ=Cˆ=Dˆ=90∘ (1)

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD ta được:

AM = MB; CP = PD

AQ = QD; BN = NC

AB = CD; AD = BC

⇒ MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau

⇒ MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài 2: Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC = 60 độ. Kẻ tia Ax song song với BC, trên tia Ax lấy D sao cho AD = DC.

a) Tính góc BAD và góc DAC.

b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi.

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu về chuyên đề hình thoi từ lý thuyết đến cách chứng minh một tứ giác là hình thoi hay nhất. Hi vọng, chia sẻ cùng bài viết, bạn nắm chắc hơn phần kiến thức Hình học 8 vô cùng quan trọng này. Cách chứng minh hình vuông cũng đã được THPT Trường Cao đẳng nghề Việt Mỹ giới thiệu. Bạn tìm hiểu thêm nhé ! cdvatc.edu.vn

Bài viết được tham khảo tại: https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_thoi#:~:text=hi%E1%BB%87u%20nh%E1%BA%ADn%20bi%E1%BA%BFt-,H%C3%ACnh%20t%E1%BB%A9%20gi%C3%A1c%20%C4%91%E1%BA%B7c%20bi%E1%BB%87t,b%E1%BB%91n%20g%C3%B3c%20l%C3%A0%20h%C3%ACnh%20thoi.