Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng, ta sử dụng công thức sau đây:

cosθ = |a1 * b1 + a2 * b2| / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2))

Trong đó:

• a1, a2 là hai thành phần của vector hướng của đường thẳng đầu tiên
• b1, b2 là hai thành phần của vector hướng của đường thẳng thứ hai
• θ là góc giữa hai đường thẳng

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Giới thiệu về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian ba chiều, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và phương vuông góc của mặt phẳng đó. Việc tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng rất quan trọng trong các bài toán liên quan đến không gian, đặc biệt là trong đồ họa máy tính và thiết kế kỹ thuật.

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để tính góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n, ta sử dụng công thức sau:

$$\sin \varphi = \frac{\left|\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}\right|}{\left|\mathbf{u}\right| \cdot \left|\mathbf{n}\right|}$$

Trong đó:

• u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
• n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
• $\varphi$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
• $|\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}|$ là giá trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vectơ u và n
• $|\mathbf{u}|$ và $|\mathbf{n}|$ lần lượt là độ dài của hai vectơ u và n

Giải bài tập về Cosin, Sin, Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1:

Cho đường thẳng d₁ : 2x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng d₂ : x – 2y – mz + 3 = 0. Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

A. m= 2

B. m = – 4

C. m= (- 1)/2

D. m= 1

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương v₁ = (2, 1, 1) và đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương v₂ = (1, -2, -m).

Để tính cosin góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng công thức:

cos(α) = (v₁ . v₂)/(√(v₁²)×√(v₂²))

Vậy, ta có:

v₁ . v₂ = 2×1 + 1×(-2) + 1×(-m) = 2 – 2m

|v₁| = √(2² + 1² + 1²) = √6

|v₂| = √(1² + (-2)² + (-m)²) = √(m² + 5)

Vậy:

cos(α) = (2 – 2m)/(√6×√(m² + 5))

Ta cần tìm m để cos(α) = 1/2. Tức là:

(2 – 2m)/(√6×√(m² + 5)) = 1/2

2 – 2m = √6×√(m² + 5)/2

4 – 4m² = 6(m<sup

Bài 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng (P): 2x – y – z + 5 = 0 và M(1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P)) = 0,5. Chọn đáp án đúng:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ đi qua điểm M(1; -1; 0) và cắt đường thẳng d, có thể tìm được vectơ chỉ phương v của đường thẳng Δ.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương v_d = (1; -2; -2).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (2; -1; -1).

Để tính góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P), ta sử dụng công thức:

sin(θ) = |(v . n)|/(|v|×|n|)

Trong đó:

• θ là góc giữa hai đường thẳng Δ và (P)
• v là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ
• n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Vậy, để sin(θ) = 0,5, ta cần tìm vectơ chỉ phương v của đường thẳng Δ sao cho:

|(v . n)| = 0,5×|v|×|n|

Tương đương với:

|v||n|sin(θ)| = 0,5×|v|×|n|

Do đó, ta có:

sin(θ) = 0,5

|v| = √(1² + (-2)² + (-2)²) = √9 = 3

|n| = √(2² + (-1)

Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/G%C3%B3c