Công thức nguyên hàm cơ bản thường gặp nhất

Định nghĩa, công thức Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số là một hàm số có đạo hàm bằng với hàm số đó trên một khoảng xác định. Khi đó, ta sử dụng ký hiệu ∫ f(x)dx = F(x) + C để thể hiện nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng xác định K. Đây là công thức nguyên hàm cơ bản và thường gặp nhất.

Theo định nghĩa này, ta có thể suy ra công thức tính nguyên hàm của một số hàm số cơ bản như:

∫ dx = x + C
∫ xn dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n≠-1)
∫ e^x dx = e^x + C
∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
∫ cos(x) dx = sin(x) + C
∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + C

Bảng các nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là bảng các nguyên hàm cơ bản của một số hàm số thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
1	x + C
xⁿ	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n≠-1)
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
1/(1+x²)	arctan(x) + C

Bảng nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0)

Bảng nguyên hàm cơ bản trên chỉ áp dụng với a = 1. Trong trường hợp a khác 1, ta có thể sử dụng công thức:

Nguyên hàm là gì? Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng là gì?

Nguyên hàm của một hàm số $f(x)$ trên một khoảng xác định $K$ là một hàm số $F(x)$ có đạo hàm bằng với hàm số $f(x)$ trên $K$. Ta sử dụng ký hiệu $\int f(x)dx = F(x) + C$ để thể hiện nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Đây là công thức nguyên hàm cơ bản và thường gặp nhất.

Xem Thêm: Tam giác đồng dạng là gì? Cách nhận biết và chứng minh tam giác đồng dạng

Bảng nguyên hàm cơ bản là bảng gồm các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản như: $x^n$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1+x^2}$, với $n$ là số nguyên khác $-1$. Bảng nguyên hàm cơ bản chỉ áp dụng với trường hợp $a = 1$.

Trong trường hợp $a \neq 1$, ta có thể sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng, bao gồm các công thức tính nguyên hàm của các hàm số khác như $a^x$, $\log_a x$,… Ví dụ: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$ với $a > 0$, $a \neq 1$.

Tuy nhiên, bảng nguyên hàm mở rộng không đủ để tính nguyên hàm của mọi hàm số phức tạp. Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp đổi biến, phương pháp nguyên hàm từng phần hoặc sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng kết hợp với phương pháp đổi biến và phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn.

Để tính chính xác các nguyên hàm và tích phân, cần nắm vững tính chất của nguyên hàm và tích phân, học thuộc vững bảng nguyên hàm và các công thức nguyên hàm cơ bản, hiểu đúng dạng đề để tránh sử dụng sai công thức và tính toán cẩn thận, tránh những sai sót vặt vãnh.… pháp đổi biến là một trong những phương pháp quan trọng để tính nguyên hàm của một số hàm số phức tạp hơn, trong đó ta sử dụng các biến đổi thích hợp để đưa về dạng đơn giản hơn.

Xem Thêm: Tìm hiểu phương pháp tích phân từng phần và cách áp dụng vào thực tiễn

Vì vậy, khi làm các bài tập toán liên quan đến nguyên hàm và tích phân, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, hiểu rõ tính chất của nguyên hàm và tích phân, và áp dụng các công thức và phương pháp tính toán phù hợp để tránh mắc phải những sai sót không đáng có.

Bài tập Nguyên hàm

Cho hàm số f(x) = 2x. Ta cần tìm nguyên hàm của hàm số này.

Để tính được nguyên hàm của hàm số này, ta có thể sử dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C

Áp dụng công thức này, ta có:
∫2x dx = x^2 + C

Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là F(x) = x^2 + C.

Ngoài ra, để tính được nguyên hàm của một hàm số phức tạp hơn, ta có thể sử dụng một số phương pháp khác như phương pháp khử bậc hoặc phương pháp khử đạo hàm. Tuy nhiên, để thực hiện các phương pháp này, người giải phải có kiến thức toán cao cấp và kinh nghiệm để áp dụng.

Dưới đây là một ví dụ về bài tập tính nguyên hàm của một hàm số đơn giản:

Hãy tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 3

Ta sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản để tính toán:

∫f(x)dx = x^2 + 3x + C

Trong đó C là hằng số tích cực.

Do đó, nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = x^2 + 3x + C.