Chứng minh các điểm (thường là 4 điểm) cùng thuộc một đường tròn là dạng bài tập phổ biến thường gặp trong các bài toán liên quan đến tứ giác và đường tròn.
Cách chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
Bước 1: Xác định đường tròn
Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, ta cần xác định đường tròn đó trước. Đường tròn là một tập hợp các điểm nằm cách một điểm gốc nhất định (tâm của đường tròn) một khoảng cách nhất định (bán kính của đường tròn).
Bước 2: Chọn các điểm cần chứng minh
Sau khi xác định đường tròn, ta cần chọn các điểm cần chứng minh cùng thuộc đường tròn đó. Các điểm này có thể là bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn hoặc trong đường tròn.
Bước 3: Chứng minh bằng phương pháp hình học
Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng các phương pháp hình học như sử dụng các góc, đường thẳng, hay tỉ lệ. Dưới đây là một số phương pháp chứng minh thường được sử dụng:
Phương pháp 1: Sử dụng góc
Nếu ta có một tam giác nằm trên đường tròn, việc chứng minh các đỉnh của tam giác cùng thuộc đường tròn có thể dựa trên việc chứng minh rằng các góc của tam giác đó nằm trên cùng một đường tròn.
Phương pháp 2: Sử dụng đường thẳng
Nếu ta có một đường thẳng đi qua hai điểm nằm trên đường tròn, ta có thể chứng minh rằng các điểm trên đường thẳng đó cũng cùng thuộc đường tròn.
Phương pháp 3: Sử dụng tỉ lệ
Nếu ta có một tam giác nằm trong đường tròn và một đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và điểm giữa đường tròn, ta có thể chứng minh rằng các điểm nằm trên đường thẳng đó cũng cùng thuộc đường tròn.
Bước 4: Đưa ra bằng chứng
Sau khi áp dụng các phương pháp chứng minh, ta cần đưa ra bằng chứng cụ thể để chứng minh rằng các điểm được chọn cùng thuộc một đường tròn. Bằng chứng này có thể là các góc bằng nhau, đường thẳng đi qua các điểm đó là đường kính của đường tròn, hoặc các tỉ lệ đường kính tương ứng.
Bước 5: Tổng kết và kết luận
Sau khi đã trình bày và đưa ra bằng chứng, ta cần tổng kết lại quá trình chứng minh và kết luận rằng các điểm đã chọn thực sự cùng thuộc một đường tròn dựa trên các phương pháp và bằng chứng đã trình bày.
Với các bước trên, chúng ta có thể chứng minh được rằng các điểm được chọn cùng thuộc một đường tròn một cách chính xác và logic trong hình học.
Bài tập vận dụng
Ví dụ 1:
Cho tam giác vuông ADM có cạnh huyền AM. Xét tam giác vuông AEM có cạnh huyền AM và tam giác vuông AHM có cạnh huyền AM. Các tam giác này đều có chung cạnh huyền AM nên 3 đỉnh góc vuông nằm trên đường tròn đường kính AM có tâm là trung điểm của AM. Vậy 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC. Ta có đối xứng với góc qua BC. Suy ra ∠BDC = ∠BAC = 90°. Xét tam giác vuông BAC và BDC có chung cạnh huyền BC nên hai đỉnh góc vuông A, D nằm trên đường tròn đường kính BC, có tâm là trung điểm của cạnh huyền BC. Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Xác định tâm O của đường tròn chứa các điểm A, B, E, D, F. Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên ∠ABD = ∠ACD = 90°. Do đó, tam giác ABD và ACD đồng dạng. Từ đó suy ra BD/AD = AD/CD. Vì E là hình chiếu của D lên BC, nên BD/CD = BE/CE. Kết hợp hai công thức trên, ta có BE/CE = AD/CD. Như vậy, tam giác ADE và BCE đồng dạng. Do F là điểm đối xứng của E qua BD, nên BD là trung trực của EF. Suy ra ∠BEF = ∠BED = ∠BAD = 90°. Vậy B, E, D, F nằm trên đường tròn có đường kính BD. Vì A cũng nằm trên đường tròn này, nên 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn.
Bài toán 1
Cho tam giác ABC và đường cao AH. Kẻ BD vuông góc với AH tại D (D nằm trên đoạn AH) và kẻ đường trung trực của BD cắt AC tại E. Gọi F là trung điểm của DE. Chứng minh rằng A, B, E, F, D cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
Ta có hình vẽ như sau:
Theo giả thuyết, DE ⊥ BC nên ∠BEB = 90°.
Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên suy ra:
BF = BE và DF = DE
Suy ra: ΔBFD = ΔBED (c-c-c)
Suy ra: ∠BFD = ∠BEB = 90°
Gọi O là trung điểm của BD. Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên:
AO = ½BD = OB = OD (1)
Xét tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên:
EO = ½BD = OB = OD (2)
Xét tam giác vuông BFD vuông tại F có OF là trung tuyến nên:
FO = ½BD = OB = OD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: OA = OB = OD = OE = OF. Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.
Hy vọng với bài viết này giúp các bạn giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn hãy để lại nhận xét dưới bài viết để chúng tôi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các bạn học tốt.
