Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Trong tam giác, đường trung tuyến là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.
Các đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt
Các đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt bao gồm:
- Đường trung tuyến trong tam giác vuông: Đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng đường cao của tam giác.
- Đường trung tuyến trong tam giác cân: Đường trung tuyến trong tam giác cân là đường trung trực của cạnh đáy.
- Đường trung tuyến trong tam giác đều: Ba đường trung tuyến trong tam giác đều bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi cạnh.
Một số định lý đường trung tuyến trong tam giác
Một số định lý đường trung tuyến trong tam giác bao gồm:
- Đường trung tuyến trong tam giác là đường cao của tam giác nhỏ gồm đỉnh và hai điểm trung điểm của cạnh đối diện.
- Đường trung tuyến trong tam giác là trung bình cộng của hai cạnh đối nhau.
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
Đồng quy tại 1 điểm
Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm, được gọi là trọng tâm của tam giác.
Trọng tâm của tam giác
Trọng tâm của tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Chia thành các tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau
Mỗi đường trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
Các đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt
Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền. Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác. Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông. Ví dụ: Trong tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AD của cạnh BC là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC.
Trường hợp của tam giác thường:
Định lý 1:
Nếu trong tam giác ABC có đường trung tuyến AD và DB bằng nhau, thì tam giác ABC là tam giác cân tại A. Tương tự, nếu trung tuyến AM bằng một nửa độ dài cạnh BC, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Chứng minh:
Với đường trung tuyến AD, ta có:
AD = 1/2BC
Từ đó suy ra:
BD = DC = 1/2BC
Do đó, tam giác ABD và ADC là hai tam giác đồng dạng (có cạnh BD, CD bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau). Vậy:
ADB = ADC
Với trung tuyến AM, ta có:
AM = 1/2BC
Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên đường trung tuyến AD là đường cao của tam giác ABC. Vậy:
AD ⊥ BC
Và ta có:
ΔADB = ΔADC
Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Trường hợp của tam giác cân:
Với tam giác cân ABC tại A, đường trung tuyến AD sẽ là đường cao của tam giác, vì vậy:
AD ⊥ BC
Đồng thời, ta cũng có:
BD = DC
Nên tam giác ABD và ADC là hai tam giác đồng dạng, và ta có:
ADB = ADC
Vậy, SADB = SADC. Tương tự, ta cũng có:
SCEA = SCEB = SBFA = SBFC
Trường hợp của tam giác đều:
Với tam giác đều ABC, ta có trọng tâm G của tam giác nằm ở chính giữa các đỉnh A, B và C. Trọng tâm G là điểm giao của các đường thẳng nối từ trọng tâm đến các đỉnh của tam giác.
Trọng tâm G cũng là tâm khối lượng của tam giác đều, tức là mỗi cạnh qua trọng tâm đều chia thành hai phần bằng nhau về mặt trọng lượng.
Tam giác đều có một số đặc điểm đáng chú ý. Ví dụ, tất cả các cạnh của tam giác đều có cùng độ dài và tất cả các góc của tam giác đều đồng nhất, có giá trị là 60 độ.
Ngoài ra, tam giác đều cũng có thể được xác định bởi các tọa độ của các đỉnh. Nếu ta biết tọa độ của một đỉnh, ta có thể dễ dàng tính toán tọa độ của các đỉnh còn lại bằng cách sử dụng quy tắc đối xứng và quy tắc hình vuông.
Trong tam giác đều ABC, nếu ta biết tọa độ của một đỉnh, ví dụ như A(x1, y1), ta có thể tính toán tọa độ của hai đỉnh còn lại bằng cách sử dụng các công thức sau:
Đỉnh B có tọa độ B(x2, y2) với x2 = x1 + (sqrt(3) * d) / 2 và y2 = y1 – d / 2, trong đó d là độ dài cạnh của tam giác đều.
Đỉnh C có tọa độ C(x3, y3) với x3 = x1 – (sqrt(3) * d) / 2 và y3 = y1 – d / 2.
Với các công thức trên, ta có thể xác định tọa độ của các đỉnh B và C dựa trên tọa độ của đỉnh A và độ dài cạnh của tam giác đều.
Trên đây là những thông tin về tam giác đều và cách xác định tọa độ của các đỉnh trong tam giác đều dựa trên tọa độ của một đỉnh đã biết.
Định lý về trọng tâm và đường trung tuyến của tam giác
Định lý 1: Trọng tâm của tam giác
Điểm gặp nhau của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm (centroid) của tam giác đó.
Định lý 2: Đường trung tuyến và diện tích của tam giác
Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
Tam giác ΔABC có D, E, F là BC, CA, AB. Khi đó AD, BE, CF lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ở G.
Ta có G là trọng tâm của tam giác ΔABC. Theo định nghĩa, AE = EC, CD = DB, BF = FA, do đó:
SΔAGE = SΔCGE; SΔBGD = SΔCGD; SΔAGF = SΔBGF trong đó kí hiệu SΔABC là diện tích của tam giác ABC. Điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích của một tam giác thì bằng ½ chiều dài đáy nhân với đường cao, khi ấy hai tam giác ấy có diện tích bằng nhau. Chúng ta có:
SΔACG = SΔACD − SΔCGD; SΔABG = SΔABD − SΔBGD
Do đó ta có: SΔABG = SΔACG và SΔDBG = SΔDCG; SΔCDG = ½SΔACG
Do SΔBGF = SΔAGF, SΔAGF = ½SΔACG = SΔBGF = ½SΔBCG. Do vậy, SΔAFG=SΔBFG=SΔBGD=SΔCGD.
Sử dụng cùng phương pháp này.
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
Tính chất 1:
Trong tam giác ABC, đường trung tuyến BM của cạnh AC cắt đường trung tuyến CN của cạnh AB tại G thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Tính chất 2:
Đường trung tuyến của một cạnh của tam giác bằng một nửa của đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm của cạnh đó.
Tính chất 3:
Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến chia tam giác thành bảy mảnh có diện tích bằng nhau.
Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác
Đường trung tuyến BM của cạnh AC có độ dài bằng một nửa của đoạn thẳng AC, tức là BM=1/2AC.
Đường trung tuyến BM còn có thể tính bằng cách lấy trung bình cộng của hai đoạn thẳng AB và BC, tức là BM=1/2(AB+BC).
Bài tập ví dụ
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM của cạnh AC và đường trung tuyến CN của cạnh AB. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG, kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh rằng EF=BC và đường thẳng AG đi qua trung điểm của cạnh BC.
Giải:
Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Theo đề bài, FG=2GN nên GC=GF (vì G là trọng tâm) và GC=2GN. Do đó, ta có GF=2GN=FG và BG, GE đồng thời G1=G2 (do cắt nhau trên đường trung tuyến CN) nên ΔBGC=ΔEGF (c.g.c).
Suy ra BC=EF. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG là đường trung tuyến thứ ba nên AG đi qua trung điểm của cạnh BC.
Nếu bạn cần thêm thông tin về đường trung tuyến trong tam giác, bạn có thể truy cập website của THPT Trường Cao đẳng nghề Việt Mỹ để tìm hiểu những bài viết hữu ích về giáo dục.
Bài tập ôn luyện đường trung tuyến
Câu 1:
Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 10cm, BC = 12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:
A. 22cm
B. 2cm
C. 6cm
D. 8cm
Câu 2:
Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:
A. 4,5cm
B. 3cm
C. 6cm
D. 4cm
Bài tập tự luận
Câu 1:
Cho hai đường thẳng x’x và y’y gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Cách giải:
- Ta có O là trung điểm của đoạn LM (giả thiết)
- Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM (1)
- Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (giả thiết)
- Suy ra AO = ⅓BO hay BA = ⅔BO (2)
- Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM (tính chất của trọng tâm)
- LP và MQ là các đường trung tuyến của ΔBLM vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (giả thiết)
- Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất của ba đường trung tuyến)
Câu 2:
Cho ΔABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:
- EF=BC
- Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Cách giải:
- Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ΔABC.
- Suy ra GM = MB và GN = NC do BM và CN là đường trung tuyến (tính chất của đường trung tuyến).
- Do đó, ta có ME = MG và NF = NG.
- Vì G là trọng tâm nên BG = 2GM và CG = 2GN.
- Từ đó suy ra EF = ME + EN + NF = MG + GN + NF = BG + CG = BC (tính chất của trọng tâm và đường trung tuyến).
- Đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn BC (tính chất của tr
Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Trung_tuy%E1%BA%BFn
