Tìm hiểu phương trình đường tròn: lý thuyết, công thức và cách giải toán

Phương trình đường tròn là một phần kiến thức quan trọng trong phân môn Hình học của Toán 10. Bài viết sau đây sẽ cung cấp cho quý thầy cô và các bạn học sinh lý thuyết, công thức và cách giải các dạng toán liên quan đến phương trình đường tròn.

LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là:

(x−a)²+(y−b)²=R²

Nhận xét

Phương trình đường tròn (x−a)²+(y−b)²=R² có thể được viết dưới dạng:

x²+y²−2ax−2by+c=0

trong đó c=a²+b²−R²

Ngược lại, phương trình x²+y²−2ax−2by+c=0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a²+b²−c>0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R=√(a²+b²−c).

Phương trình tiếp tuyến

Cho đường tròn (C) tâm I(a;b) và điểm M0(x0;y0) nằm trên đường tròn đó. Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M0. Ta có M0 thuộc Δ và vectơ IM0=(x0−a;y0−b) là vectơ pháp tuyến của Δ. Do đó Δ có phương trình là:

(x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0

Với x, y là tọa độ của điểm chạm trên tiếp tuyến Δ.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Lập phương trình đường tròn

Cách giải 1:

– Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)
– Tìm bán kính R của (C)
– Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)² + (y – b)² = R² (1)
– Chú ý:
 (C) đi qua A, B ⇔ IA² = IB² = R².
 (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).
 (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2
  ⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách giải 2:

– Gọi phương trình đường tròn (C) là x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (2)
– Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
– Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) thuộc đường tròn (C)

Để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) trên đường tròn (C), ta cần tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C) trước đó. Sau đó, phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M0 có dạng:


(x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0


Với x, y lần lượt là tọa độ của điểm chạm trên tiếp tuyến Δ.

Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của Δ với (C) khi chưa biết tiếp điểm

Khi chưa biết tiếp điểm, ta có thể dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R để lập phương trình tiếp tuyến của Δ với (C). Điều kiện tiếp xúc này là d(I, Δ) = R, trong đó d(I, Δ) là khoảng cách từ tâm I đến tiếp tuyến Δ.

Loại 3: Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm tâm và bán kính

Một phương trình bậc 2 có thể là phương trình của một đường tròn. Để nhận dạng và tìm tâm I(a,b) và bán kính R của đường tròn, ta cần chuyển phương trình về dạng chuẩn:


(x−a)²+(y−b)²=R²


Sau đó, ta có thể suy ra tọa độ tâm I(a,b) và bán kính R từ phương trình chuẩn trên.

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10):

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a, x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0

Đặt phương trình đường tròn dưới dạng: (x-a)² + (y-b)² = r²

Áp dụng công thức hoàn chỉnh để đưa phương trình đường tròn về dạng chuẩn:

(x-1)² + (y-1)² = 4

Vậy tâm đường tròn là I(1;1) và bán kính là 2.

b, 16x² + 16y² + 16x – 8y -11 = 0

Đặt phương trình đường tròn dưới dạng: (x-a)² + (y-b)² = r²

Áp dụng công thức hoàn chỉnh để đưa phương trình đường tròn về dạng chuẩn:

(x+1)² + (y-1/2)² = 27/4

Vậy tâm đường tròn là I(-1;-1/2) và bán kính là √(27)/2.

c, x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0

Đặt phương trình đường tròn dưới dạng: (x-a)² + (y-b)² = r²

Áp dụng công thức hoàn chỉnh để đưa phương trình đường tròn về dạng chuẩn:

(x-2)² + (y+1)² = 10

Vậy tâm đường tròn là I(2;-1) và bán kính là √(10).

Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10):

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) Đường tròn có tâm và đi qua điểm cho trước:

Để lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(a, b) và đi qua điểm M(x₀, y₀), ta sử dụng công thức phương trình đường tròn chung: (x-a)² + (y-b)² = r²

Trong đó, (a, b) là tọa độ tâm của đường tròn, r là bán kính của đường tròn.

Để tìm phương trình của đường tròn (C), thay các giá trị đã biết vào công thức trên, ta có: (x-(-2))² + (y-3)² = r²

Và khi đi qua điểm M(2, -3), ta có: (2-(-2))² + (-3-3)² = r²

Sau khi giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

b) Đường tròn có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước:

Để lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(a, b) và tiếp xúc với đường thẳng Ax + By + C = 0, ta sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn: (x-x₀)(x-a) + (y-y₀)(y-b) = 0

Với đường thẳng Ax + By + C = 0, ta có vector pháp tuyến là n = (A, B), và khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng là: d = |Ax₀ + By₀ + C| / sqrt(A² + B²)

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng cũng bằng bán kính r: d = r

Kết hợp hai phương trình trên, ta có thể tìm được tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

Bài 4: (trang 84 SGK Hình học 10

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1)

Để lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox và Oy, ta cần biết rằng tâm đường tròn đó nằm trên đường thẳng y = x hoặc y = -x.

Vì đường tròn tiếp xúc với trục tọa độ Ox và Oy nên tâm của đường tròn đó nằm ở giao điểm của hai trục tọa độ Ox và Oy, tức là tâm đường tròn đó nằm ở điểm gốc O(0; 0).

Khi đó, đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1) có tâm O và bán kính bằng khoảng cách từ điểm M đến tâm O.

Ta có:

• Khoảng cách từ điểm M đến tâm O là OM = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5)
• Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 0)^2 + (y – 0)^2 = 5
  Suy ra phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1) là x^2 + y^2 = 5.

Bài 5: (trang 84 SGK Hình học 10)

Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0

Đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0 có vector pháp tuyến là n = (4, -2).

Tâm đường tròn cần tìm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0 nên ta có thể biểu diễn tâm đường tròn dưới dạng A(xA, yA), trong đó xA và yA là tọa độ của tâm đường tròn.

Phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ có tâm là A(xA, yA) có thể viết dưới dạng:

• Đường tròn tiếp xúc với trục tọa độ Ox: (y – yA)^2 = xA^2
• Đường tròn tiếp xúc với trục tọa độ Oy: (x – xA)^2 = yA^2

Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%C3%B2n