Khái niệm Ước và Bội

Toán học lớp 6 đánh dấu sự thay đổi hoàn toàn mới về kiến thức dành cho học sinh. Nó được nâng cao hơn rất nhiều so với những gì đã học về phần số hay phần hình ở bậc tiểu học. Trong đó liên quan đến phần số, chúng ta sẽ tìm hiểu về hai khái niệm mới đó là Ước và Bội. Ước là một số tự nhiên khi lấy một số tự nhiên khác đem chia với nó sẽ chia hết. Nói cách khác, nếu một số tự nhiên A được coi là ước của số tự nhiên B thì số B đó chia hết cho A. Ví dụ số 8 chia hết cho các số 1, 2, 4 và 8, do đó 1, 2, 4 và 8 chính là ước của số 8.

Bội là các số chia hết cho một số tự nhiên. Bội số của A là các số chia hết cho A. Ví dụ bội của 4 là các số chia hết cho 4 như 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,… Bội số nhỏ nhất của một số tự nhiên chính là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho số đó.

Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất

Trong phần kiến thức này, các bài tập liên quan đến Ước và Bội thường đi kèm với Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất. Ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của 2 hay nhiều số tự nhiên. Kí hiệu ước chung lớn nhất của các số x, y, z là UCLN(x, y, z). Ví dụ: Tìm ƯCLN của 12; 20; 30

12 = 2² ×3

20 = 2² × 5

30 = 2 × 3 × 5

Do đó, ƯCLN(12; 20; 30) = 2.

Ước số nguyên dương và Ước số nguyên âm

Trong toán học, Ước số là các số nguyên dương chia hết cho một số nguyên dương khác mà không dư lại. Ví dụ, 6 là một ước của số 12 vì 12 chia hết cho 6 mà không dư lại. Ngược lại, 7 không phải là ước của 12 vì 12 không chia hết cho 7 mà có dư.

Xem Thêm: Công thức tính diện tích hình chóp, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần

Trong khi đó, Ước số nguyên âm là các số nguyên âm chia hết cho một số nguyên dương khác mà không dư lại. Ví dụ, -3 là một ước của số -12 vì -12 chia hết cho -3 mà không dư lại. Ngược lại, -2 không phải là ước của -12 vì -12 không chia hết cho -2 mà có dư.

Ước số nguyên dương

Để tìm tất cả các ước số của một số nguyên dương nào đó, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích số đó thành tích của các thừa số nguyên tố

Ví dụ, ta muốn tìm tất cả các ước của số 12, ta phân tích 12 thành tích của các thừa số nguyên tố như sau:

12 = 2 x 2 x 3

Bước 2: Tìm tất cả các ước số bằng cách kết hợp các thừa số nguyên tố đã phân tích

Ta có thể tìm tất cả các ước của số 12 bằng cách kết hợp các thừa số nguyên tố đã phân tích như sau:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Ước số nguyên âm

Để tìm tất cả các ước số của một số nguyên âm nào đó, ta cần chú ý rằng các ước số nguyên âm sẽ được kết hợp với dấu trừ để tạo ra các ước số âm. Ví dụ, ta muốn tìm tất cả các ước số của số -12, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tất cả các ước số dương của giá trị tuyệt đối của số đó

Ví dụ, ta có thể tìm tất cả các ước số dương của giá trị tuyệt đối của -12 bằng cách thực hiện bước tìm ước số của số nguyên dương như đã mô tả ở trên. Khi đó, ta thu được tập hợp các ước số dương của giá trị tuyệt đối của -12 là {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Bước 2: Kết hợp các ước số dương để tạo ra các ước số âm

Sau khi đã tìm được tất cả các ước số dương của giá trị tuyệt đối của -12, ta kết hợp chúng với dấu trừ để tạo ra các ước số âm. Ví dụ, khi kết hợp các ước số dương của giá trị tuyệt đối của -12 với dấu trừ, ta thu được tập hợp các ước số của số -12 là {-1, -2, -3, -4, -6, -12}.

Đó là cách tìm ước số nguyên dương và ước số nguyên âm.

Xem Thêm: Bảng công thức Đạo hàm và Đạo hàm lượng giác chi tiết

Các dạng bài toán liên quan đến ước và bội

Trong chương trình toán học của lớp 6, phần số học thường xuất hiện các dạng bài tập tìm hai số nguyên dương khi cho biết các dữ liệu về ước và bội. Để giải quyết các bài tập này, có hai phương pháp chính:

Phương pháp 1: Sử dụng ước chung lớn nhất

Bám sát và định nghĩa về ước chung lớn nhất để có thể biểu diễn hai số cần tìm. Đồng thời, liên hệ với các yếu tố đề bài đã cho để tìm ra hai số.

Phương pháp 2: Sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa 3 yếu tố

Trong trường hợp không áp dụng được định nghĩa, chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa 3 yếu tố là ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và tích của 2 số nguyên dương a và b.

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1 () Từ () => ab = mnd^2; [a, b] = mnd
=> (a, b). [a, b] = d.(mnd) = mnd^2 = ab
=> ab = (a, b). [a, b] . (**)

Ví dụ minh họa

Bài toán 1

Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.

Lời giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.
Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n (m

Số nguyên tố

Để hiểu về ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất, ta cần hiểu về số nguyên tố. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Các số nguyên tố đầu tiên là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,…

Các bài toán liên quan đến ước và bội thường xuất hiện trong chương trình toán học của lớp 6. Chúng ta có thể giải quyết các bài tập này bằng hai phương pháp chính:

Phương pháp 1: Định nghĩa về ước chung lớn nhất

Phương pháp này dựa trên định nghĩa của ước chung lớn nhất để tìm hai số cần tìm. Đồng thời, liên hệ với các yếu tố đề bài đã cho để tìm ra hai số.

Phương pháp 2: Mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Trong trường hợp không áp dụng được định nghĩa ước chung lớn nhất, chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ba yếu tố là ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và tích của hai số nguyên dương a và b.

Ngoài ra, có một số tính chất của số nguyên tố mà ta cần biết để giải các bài toán liên quan đến ước và bội:

Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích thành tích của các số nguyên tố duy nhất.
Một số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, vì vậy chúng không thể có ước số chung với các số khác ngoại trừ 1 và chính nó.
Nếu một số không phải là số nguyên tố thì nó sẽ có ít nhất hai ước số khác nhau và cả hai đều lớn hơn 1.

Xem Thêm: Phương trình tham số và ứng dụng trong đường thẳng

Để tìm các số nguyên tố, ta có thể áp dụng các phương pháp khác nhau như sàng Eratosthenes, sàng Sundaram, hay kiểm tra đơn giản bằng cách chia số đó cho các số nguyên dương lớn hơn 1 nhỏ hơn nó. Nếu không có số nào chia hết thì số đó là số nguyên tố.

Tóm lại, hiểu về số nguyên tố là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến ước và bội. Việc tìm hiểu và áp dụng các phương pháp giải quyết bài toán này sẽ giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng tư duy logic và phát triển khả năng giải quyết vấn đề.

Bài tập 1: Tìm các ước số của các số cho trước

Tìm các ước của 4, 6, 9, 13 và 1, ta có:

Ư(4) = {1; 2; 4}
Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Ư(9) = {1; 3; 9}
Ư(13) = {1;13}
Ư(1) = {1}

Bài tập 2: Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước

Tìm ước chung lớn nhất của:

a) 56 và 140
Tìm ước của số 24: Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Tìm bội của số 8: Bội của 8 là 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …
Phân tích số thành tích các thừa số nguyên tố và lấy ra các thừa số nguyên tố chung và không chung để tính UCLN và BCNN.
Sử dụng thuật toán Euclid để tìm UCLN. Cụ thể, ta lấy số lớn chia cho số bé, sau đó lấy số bị dư của phép chia trước đó chia cho số bé cho đến khi số dư bằng 0. Kết quả là UCLN của hai số.
Tìm UCLN và BCNN của hai số 12 và 18: