Vectơ pháp tuyến là gì?
Pháp tuyến là gì?
Trong hình học, pháp tuyến (hay trực giao) là một đối tượng như đường thẳng, tia hoặc vectơ, vuông góc với một đối tượng nhất định. Ví dụ, trong hai chiều, đường pháp tuyến của một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một (một vectơ pháp tuyến đơn vị) hoặc không. Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt (bên trong hoặc bên ngoài).
Định nghĩa Vector pháp tuyến
Theo định nghĩa, vectơ ⃗n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ⃗n ≠ ⃗0 và ⃗n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆. Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
Vectơ pháp tuyến là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính và hình học không gian. Nó được sử dụng để miêu tả hướng của đường thẳng và các bề mặt trong không gian ba chiều.
Theo định nghĩa, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng là một vectơ vuông góc với đường thẳng đó và có độ dài không bằng 0. Với một đường thẳng trong không gian ba chiều, có thể có nhiều hơn một vectơ pháp tuyến, tuy nhiên, chỉ cần biết một vectơ pháp tuyến là đủ để xác định đường thẳng đó.
Các vectơ pháp tuyến được sử dụng rộng rãi trong hình học tính toán, đặc biệt là trong lĩnh vực định hướng bề mặt và định lượng lưu lượng. Chúng cũng được sử dụng trong các ứng dụng khác như tính toán độ dốc của một hàm số đa biến và tính toán phương trình của một mặt phẳng.
Tính chất của Vectơ pháp tuyến
- Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng có nhiều nhất một vector pháp tuyến (up to a positive constant factor).
- Các vector pháp tuyến của hai đường thẳng song song đồng (cùng) phương.
- Các vector pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau đối (đảo) nhau.
Thông qua định nghĩa và tính chất của Vector pháp tuyến của đường thẳng, chúng ta có thể tìm hiểu và áp dụng trong nhiều bài toán về hình học trong mặt phẳng.
Cách tìm vectơ pháp tuyến
Để tìm vector pháp tuyến của một đường thẳng, ta có thể sử dụng hai cách sau đây:
Cách 1: Sử dụng công thức
Nếu phương trình đường thẳng đã cho dưới dạng (1), thì ta có thể tìm vector pháp tuyến bằng công thức:
n→ = (a, b).
Cách 2: Sử dụng tích vô hướng
Cho một điểm A(x0, y0) nằm trên đường thẳng và một vector v→(a, b) không bằng vector 0→. Ta có thể tìm vector pháp tuyến bằng cách tính tích vô hướng:
n→ = (b, -a).
Các ví dụ về vectơ pháp tuyến và các bài tập vận dụng
Ví dụ 1
Cho đường thẳng d có phương trình: 2x + 2y – 4 = 0. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.
Lời giải:
Ta có a = 2, b = 2, c = -4. Vậy, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n→(2; 2).
Ví dụ 2
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Lời giải:
Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Các vectơ đó cùng phương với nhau.
Ví dụ 3
Cho đường thẳng d có phương trình: 2x – 19y + 2098 = 0. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.
Lời giải:
Ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d, từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Ta có:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: n→(2; -19).
Vậy, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n→(2; -19).
Ví dụ 4
Cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. A(3; 0) B. B(1;2) C. C(1;2) D. D(2;-1)
Lời giải:
Ta xét các phương án:
- Thay tọa độ điểm A ta có: 3 – 2.0 + 3 = 0 vô lí. ⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.
- Thay tọa độ điểm B ta có: 1 – 2.2 + 3 = 0. ⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
- Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.
Vậy, đường thẳng d đi qua điểm B.
Ví dụ 5
Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A(-3;0) B. B(0;2) C. C(3;4) D. D(1;2)
Lời giải:
- Thay tọa độ điểm A ta được: 2.(-3) – 3.0 + 6 =
Ví dụ: 6
Cho đường thẳng có phương trình: x – 2y + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây không phải là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó?
A. n1→ = (2; 1). B. n2→ = (1; 2). C. n3→ = ( -2; -1). D. n4→ = (-1; -2).
Lời giải:
Một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 là véc tơ n = (a, b). Ta có đường thẳng có phương trình x – 2y + 3 = 0, vì vậy véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó là n→ = (1, -2).
Ta sẽ tính tích vô hướng của từng véc tơ với n→ và kiểm tra xem véc tơ nào không cho kết quả bằng 0 để chọn đáp án.
n1→ = (2, 1), n1→.(1, -2) = 2*1 + 1*(-2) = 0. Do đó, n1→ là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
n2→ = (1, 2), n2→.(1, -2) = 1*1 + 2*(-2) = -3 ≠ 0. Do đó, n2→ không phải là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
n3→ = (-2, -1), n3→.(1, -2) = (-2)*1 + (-1)*(-2) = 0. Do đó, n3→ là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
n4→ = (-1, -2), n4→.(1, -2) = (-1)*1 + (-2)*(-2) = 3 ≠ 0. Do đó, n4→ không phải là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
Vì vậy, đáp án là B.
Tham khảo:
https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_th%E1%BA%B3ng
