Tam giác đồng dạng là gì?

Chuyên đề về tam giác đồng dạng là một phần kiến thức vô cùng quan trọng của chương trình Toán 8, phân môn Hình học. Bài viết này sẽ tổng hợp lại tất cả các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này.

LÝ THUYẾT VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Định nghĩa hai tam giác đồng dạng:

Hai tam giác đồng dạng với nhau khi chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Tức là tam giác ABC và tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với nhau nếu:

A^o = A’^o
B^o = B’^o
C^o = C’^o
Và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:
A’B’/AB = B’C’/BC = A’C’/AC = k

Kí hiệu hai tam giác đồng dạng: △ABC ∼ △A′B′C′. Tỉ số k được gọi là tỉ số đồng dạng.

2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường:

Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau (c – c – c).
Trường hợp 2: Hai cạnh và góc giữa chúng tương ứng bằng nhau (c – c – A hoặc A – c – c).
Trường hợp 3: Hai góc và một cạnh tương ứng bằng nhau (A – B – C hoặc A – C – B).

Xem Thêm: Phân Tích Ý nghĩa chi tiết Bát cháo hành của Thị Nở trong tác phẩm Chí Phèo của Nam Cao

CÁCH CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

tam giác đồng dạng là gì cách nhận biết và chứng minh tam giác đồng

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta cần thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Xác định các góc và cạnh tương ứng của hai tam giác.
Bước 2: So sánh tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác.
Bước 3: Kết luận hai tam giác đồng dạng nếu

Đồng dạng tam giác

Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau (c – c – c)

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

ABDE=ACDF=BCEF
Suy ra: △ABC∼△DEF (c – c – c)

Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c)

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

ABDE=ACDF
A^=D^
Suy ra: △ABC∼△DEF (c – g – c)

Trường hợp 3: Hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

A^=D^
B^=E^
Suy ra: △ABC∼△DEF (g – g)

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức

Bài toán: Cho △ABC(AB < AC), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài △ vẽ tia Cx sao cho BCxˆ=BADˆ. Gọi I là giao điểm của Cx và AD.

Chứng minh rằng:

a) △ADB∼△CDI

b) ADAC=ABAI

c) AD² = AB.AC – BD.DC

Cách giải:

a) Xét △ADB và △CDI, ta có:

BCxˆ=BADˆ (gt)
D1ˆ=D2ˆ (đối đỉnh)

Suy ra: △ADB∼△CDI

b) Xét △ABD và △AIC, ta có :

Bˆ=Iˆ (△ADB∼△CDI)
A1ˆ=A2ˆ (AD là phân giác)

Suy ra △ABD∼△AIC

Suy ra ADAC=ABAI, suy ra AD.AI = AB.AC (1)

c) Có ADCD=BDBI △ADB∼△CDI

Suy ra: AD.DI = BD.CD (2)

Từ (1) và (2):

Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD²

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – định lí Talet và Hai đường thẳng song song

Bài toán: Cho tam giác ABC và DEF, AB // DE và AC // DF. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.

Cách giải:

Xét tam giác ABC và tam giác DEF, ta có:

AB // DE (điều kiện)
AC // DF (điều kiện)
BC // EF (hai đường thẳng song song)

Xem Thêm: Công thức tính diện tích hình tròn chuẩn nhất

Theo định lí Talet, khi có hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. Vì vậy, tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.

Dạng 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – định lí Talet và Cạnh huyền

Bài toán: Cho hai tam giác ABC và DEF có AB = DE, AC = DF, và góc A bằng góc D. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.

Cách giải:

Xét tam giác ABC và tam giác DEF, ta có:

AB = DE (điều kiện)
AC = DF (điều kiện)
A = D (góc tương ứng bằng nhau)

Theo định lí Talet, khi có hai tam giác có cạnh huyền bằng nhau và góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. Vì vậy, tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.

Dạng 4: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán: Cho hai tam giác ABC và DEF có góc A bằng góc D, góc B bằng góc E và AB/DE = AC/DF. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.

Cách giải:

Xét tam giác ABC và tam giác DEF, ta có:

A = D (góc tương ứng bằng nhau)
B = E (góc tương ứng bằng nhau)
AB/DE = AC/DF (điều kiện)

Bài tập vận dụng

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) $AH \cdot BC = AB \cdot AC$

b) $AB^2 = BH \cdot BC$

c) $AH^2 = BH \cdot CH$

d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. Chứng minh: $CN \parallel AM.$

Bài 2:

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD. Chứng minh rằng:

a) $AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2BD^2.$

b) $AB^2 + AC^2 \geq 2\sqrt{2} AD \cdot BD.$

Bài 3: Tính độ dài các cạnh tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC = 16cm. Tính AB, AC, BC.

Giải

Ta có:

$BH = 9$ cm, $HC = 16$ cm
$AH$ là đường cao của tam giác $ABC$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AC^2 = AH^2 + HC^2$
$BC^2 = BH^2 + HC^2$

Do đó:

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2}$
$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2}$
$BC = \sqrt{BH^2 + HC^2}$

Ta thấy tam giác $ABH$ và tam giác $AHC$ cũng đều vuông tại $H$, do đó ta có:

$AH = \sqrt{AB^2 – BH^2}$
$AH = \sqrt{AC^2 – HC^2}$

Xem Thêm: Ước và bội là gì? “Hướng dẫn tìm Ước và Bội? Các phương pháp và công thức cơ bản”

Thay giá trị của $BH$ và $HC$ vào ta được:

$AH = \sqrt{AB^2 – 81}$
$AH = \sqrt{AC^2 – 256}$

Vậy ta đã tìm được độ dài các cạnh tam giác:

$AB = \sqrt{AH^2 + 81}$
$AC = \sqrt{AH^2 + 256}$
$BC = \sqrt{97}$

Bài 4: Tìm độ dài đường cao và diện tích tam giác

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21cm; AC = 28cm.

a/ Tính AH
b/ Kẻ HD AB; HE AC. Tính diện tích tam giác AED.

Giải

a/ Tính AH:

Ta có:

$AB = 21$ cm, $AC = 28$ cm
$AH$ là đường cao của tam giác $ABC$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AC^2 = AH^2 + HC^2$

Do đó ta có:

<ul

Bài 5: Tam giác vuông và đường cao

Câu a)

Kẻ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Ta có:

Ta có:

Tam giác AHM vuông tại H nên theo định lí Pytago ta có:
- $AM^2=AH^2-HM^2$
- $\Rightarrow AM^2=AC^2-CH^2-HM^2$
Tam giác AHN vuông tại H nên theo định lí Pytago ta có:
- $AN^2=AH^2-HN^2$
- $\Rightarrow AN^2=AB^2-BH^2-HN^2$

Điều kiện cần và đủ để tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADH là: