Số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Ví dụ: 7 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một tích, 1 × 7 hoặc 7 × 1, có một thừa số là chính số 7.
Những lưu ý về số nguyên tố:
- Số nguyên tố nhỏ nhất và có 1 chữ số là số 2
- Số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số là số 11
- Số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số là số 101
- Số nguyên tố lớn nhất có 2 chữ số là số 97
- Số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ số là số 997
Các tính chất của số nguyên tố
Khái niệm và tính chất
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước số dương là 1 và chính nó. Số hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước số dương.
Một số tính chất của số nguyên tố:
- Số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
- Hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn và một số lẻ.
- Các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.
- Không có hai số nguyên tố nào cách nhau bởi một số chẵn lớn hơn 2.
Dựa vào một số tính chất cơ bản của số nguyên tố hợp số như sau sẽ giúp học sinh dễ dàng tính toán hơn:
Số nguyên tố là vô hạn
Không thể giới hạn số lượng số nguyên tố cũng như tập hợp các số nguyên tố. Nói cách khác, số nguyên tố là vô hạn.
Bảng số nguyên tố
Bảng số nguyên tố là bảng ghi lại các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Các số nguyên tố đầu tiên là:
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 |
| 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
CÁCH TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
1. Cách tìm số nguyên tố đơn giản
Có một phương pháp đơn giản để tìm số nguyên tố là chia thử nghiệm. Với cách này, bạn chỉ cần chia số cần kiểm ta theo lý thuyết số nguyên tố là được. Tuy nhiên, đây được đánh giá là phương pháp chậm, gây mất nhiều thời gian và có thể kéo theo nhiều sai số trong quá trình thực hiện.
2. Cách tìm số nguyên tố bằng thao tác lặp từng phần tử với bước nhảy 1
Với cách này, giả sử bạn cần kiểm tra số n có phải là số nguyên tố hay không thì bạn chỉ cần áp dụng các bước thực hiện như sau:
- Nhập vào n
- Kiểm tra nếu n < 2 thì đưa ra kết luận n không phải là số nguyên tố
- Lặp từ 2 tới (n-1), nếu bạn trong khoảng này tồn tại số mà n chia hết thì đưa ra kết luận n không phải là số nguyên tố. Nếu kết quả ngược lại n là số nguyên tố.
3. Cách tìm số nguyên tố bằng thao tác lặp từng phần tử với bước nhảy 2
Theo định nghĩa về số nguyên tố thì số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. Do đó, ta sẽ dễ dàng loại được 2 ra khỏi vòng lặp, khi đó trong thân vòng lặp bạn chỉ cần kiểm tra các số lẻ. Đây là cách được đánh giá là tối ưu hơn cách 1 đáng kể.
BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN SỐ VÀ HỢP SỐ
Bài 1:
Cho p và 2p + 1 đều là số nguyên tố (p > 5). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số?
GIẢI:
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 suy ra 4p cũng không chia hết cho 3. Do 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 suy ra 2(2p + 1) không chia hết cho 3 hay 4p + 2 không chia hết cho 3. Mặt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp 4p, 4p + 1, 4p + 2 có một số chia hết cho 3, do đó 4p + 1 chia hết cho 3 mà 4p + 1 > 3, suy ra 4p + 1 là hợp số.
Bài 2: Cho p và p + 4 là số nguyên tố (p>3) chứng tỏ rằng p + 8 là hợp số
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 suy ra loại. Nếu p = 3k + 1 thì p + 7 = 3k + 8 không chia hết cho 3 suy ra 2(3k + 7) không chia hết cho 3 hay 2p + 14 không chia hết cho 3 mà trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 mà 2p + 14 và 2p + 15 không chia hết cho 3 suy ra 2p + 16 chia hết cho 3 hay p + 8 chia hết cho 3 suy ra p + 8 là hợp số.
Bài 3: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố
Giả sử ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là p, p + 2, p + 4. Nếu p = 3 thì p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là số nguyên tố (thỏa mãn). Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. Với p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 (loại). Với p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 (loại). Vậy chỉ có ba số là 3, 5, 7.
Bài 4: Tìm ba số nguyên tố dạng p, p + 10, p + 20
Ta viết p, (p + 1) + 9, (p + 2) + 18. Trong ba số p, p + 1, p + 2 luôn có một số chia hết cho 3 suy ra trong ba số p, (p + 1) + 9, (p + 2) + 18 luôn có một số chia hết cho 3 hay trong ba số p, p + 10, p + 20 luôn có một số chia hết cho 3, vậy p = 3 ta có ba số đó là 3, 13, 23.
Bài 5:
a/ Chứng minh rằng nếu số n có chữ số cuối cùng là 0 thì n chia hết cho 10.
Ta có thể biểu diễn số n dưới dạng:
n = a0 + a1.10 + a2.102 + … + ak.10k
Trong đó, a0, a1,…,ak lần lượt là các chữ số của số n.
Do chữ số cuối cùng của n là 0, nên ta có thể viết lại số n dưới dạng:
n = a0 + a1.10 + a2.102 + … + ak-1.10k-1 + 0.10k
Từ đó suy ra:
n = 10(a1 + a2.10 + … + ak-1.10k-2 + ak)
Vì a1, a2,…,ak là các chữ số, nên a1 + a2.10 + … + ak-1.10k-2 + ak là một số nguyên. Vậy, n chia hết cho 10.
b/ Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3. Tương tự nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9.
Để chứng minh điều này, ta cần biểu diễn số đó dưới dạng:
n = 111…111 (gồm 2001 hoặc 2007 chữ số 1)
Khi đó, ta có:
- Nếu n có 2001 chữ số 1: tổng các chữ số của n là 1 x 2001 = 2001, và 2001 chia hết cho 3, do đó n chia hết cho 3.
- Nếu n có 2007 chữ số 1: tổng các chữ số của n là 1 x 2007 = 2007, và 2007 chia hết cho 9, do đó n chia hết cho 9.
