Trực tâm là gì? Tìm hiểu khái niệm trực tâm và tính chất của nó

Trực tâm là gì?

Trực tâm là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có 1 trực tâm duy nhất. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác.

Đường cao của một tam giác là gì?

Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện tại điểm cắt. Cạnh đối diện này còn được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Độ dài đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó.

Cách xác định trực tâm của một tam giác?

Giả sử cho tam giác LMN có ba đường cao lần lượt là LP, MQ, NI. Gọi S là là giao điểm của ba đường cao trên thì S là trực tâm của tam giác LMN.

Tính chất của trực tâm trong tam giác

Trực tâm tam giác có những tính chất quan trọng như sau:

• Một điểm nằm trên đường trực tâm của một tam giác khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác bằng nhau.
• Trực tâm là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi tam giác đó đều hoặc khi ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm.
• Khoảng cách từ trực tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng khoảng cách từ trực tâm đến đối của đỉnh đó trên cạnh đối diện.
• Trực tâm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

Muốn làm tốt các dạng bài tập toán hình học

Để làm tốt các dạng bài tập toán hình học, bạn cần nắm rõ các định lý và tính chất liên quan để vận dụng làm bài tập nhanh chóng và hiệu quả.

Định lý và tính chất cơ bản trong hình học

Trực tâm của tam giác

Nếu ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½ khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó.

Tam giác cân

Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.

Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC.

Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh.

Ví dụ và hệ quả

Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, trực tâm là điểm P. Theo định lý Carnot, D sẽ đối xứng với P qua BC.

Hệ quả: Trong tam giác đều ABC, trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau. Ví dụ: Tam giác đều ABC có đường cao đồng thời là đường trung tuyến và đ

Tính chất của trực tâm tam giác:

Từ những tính chất trên ta rút ra hệ quả như sau:

Tính chất 1:

Trong một tam giác cân thì đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.

Tính chất 2:

Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.

Tính chất 3:

Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.

Tính chất 4:

Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là chân của ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện BC, AC, AB tương ứng.

Tính chất 5:

Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại một điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Cách xác định trực tâm của một tam giác:

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác rồi. Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau.

Tìm trực tâm tam giác

Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ. Tuy nhiên đối với tam giác vuông thì việc xác định đường cao có khác một chút. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác vì hai cạnh vuông góc với nhau. Chính vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông.

Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác

Để chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác thì ta cần sử dụng định nghĩa và tính chất trọng tâm, trực tâm trong tam giác. Giả sử ta cần chứng minh G là trọng tâm, H là trực tâm của ΔABC. Ta có:

Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách:

• Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
• Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1.

Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC

Để chứng minh điểm H là trung trực của tam giác ABC thì ta:

Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác.

Bài tập áp dụng

Bài 1:

Cho hình sau đây

Chứng minh NS⊥LM

Khi LNPˆ=50∘, hãy tính góc MSP và góc PSQ

Cách giải:

Trong ΔNML có :

• LP⊥MN nên LP là đường cao
• MQ⊥NL nên MQ là đường cao
• mà PL∩MQ={S}
• suy ra S là trực tâm của tam giác nên đường thẳng SN chứa đường cao từ N hay NS⊥LM

2. ΔNMQ vuông tại Q có:

• LNPˆ=50∘ nên: QMNˆ=40∘

ΔMPS vuông tại Q có:

• QMNˆ=40∘ nên: MSPˆ=50∘

Suy ra PSQˆ=130∘ (kề bù)

Bài 2:

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Cách giải:

Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E

ΔHBC có:

• HN⊥BC nên HN là đường cao
• BE⊥HC nên BE là đường cao
• CM⊥BH nên CM là đường cao

Vậy A là trực tâm của ΔHBC

Bài 3:

Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Cách giải:

Vẽ đường kính BB1

Vì AB1∥HC

AH∥B1C

⇒AHCB1 là hình bình hành

⇒AH→=B1C→

B, C cố định nên B1C→ không đổi. Như vậy, H=TB1C→(A)

Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn C′(O′,R′), chính là ảnh của đường tròn C(O,R) qua phép tịnh tiến TB1C→.</

Bài toán tọa độ trực tâm

Đề bài: Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ đỉnh A(-2,6), B(-2,9), và C(9,8) trong không gian Oxyz.

Lời giải:

Điểm trực tâm H của tam giác ABC là trung điểm của các đường cao AH, BH, CH.

Ta có:

• E1ˆ=H1ˆ=ECJˆ
• H1ˆ=ECJˆ (cùng phụ góc EAH)
• E1ˆ=E3ˆ
• IEJˆ=E1ˆ+E2ˆ=E3ˆ+E2ˆ=90∘
• ⇒IE⊥JE

Vậy tìm được các đường cao AH, BH, CH của tam giác ABC, sau đó tính trung điểm của chúng để tìm được tọa độ của trực tâm H.

Bài toán về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB và HAC cắt BC lần lượt tại M và N. Các đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

Lời giải:

Ta cần chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Để làm điều đó, ta sẽ chứng minh rằng O là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh AM và AN.

Đầu tiên, xét tam giác ABN có BO là đường phân giác góc B. Ta sẽ chứng minh tam giác ABN là tam giác cân tại B để chứng minh rằng BO là đường trung trực của cạnh AN.

Ta có:

• Góc BAN + góc CAn = 90° vì góc BAC bằng 90°
• Góc BAN + góc NHA = 90° vì góc H bằng 90°
• Mặt khác, góc CAN bằng góc NAH
• Từ (1) và (2), suy ra góc BAN bằng góc BNA
• Do đó tam giác BAN cân tại B

Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_cao_(tam_gi%C3%A1c)