Hình thang: Khái niệm và tính chất

Khái niệm

Hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh đáy song song và bằng nhau. Hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên của hình thang. Nếu hai cạnh bên cũng bằng nhau thì đó là hình thang cân. Nếu hình thang có một góc vuông thì được gọi là hình thang vuông.

Hình thang là gì? Công thức và Cách chứng minh hình thang nhanh nhất

Tính chất

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ, đối với hình thang cân thì hai góc này bằng nhau.
Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau. Ngược lại, nếu hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy sẽ bằng nhau.
Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.
Đường trung bình của hình thang là đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên và song song với hai cạnh đáy. Nếu đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên và song song với hai cạnh đáy thì nó cũng sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Xem Thêm: Phân tích chi tiết nhân vật Liên trong truyện ngắn Hai đứa trẻ hay nhất

Cách chứng minh hình thang

Có nhiều cách chứng minh một tứ giác là hình thang, tuy nhiên cách đơn giản nhất là chứng minh hai cạnh đáy song song với nhau. Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Ta có thể chứng minh được tứ giác ABCD là hình thang bằng cách chứng minh hai tam giác ABE và CDE đồng dạng với nhau hoặc hai tứ giác ABCE và AEDC đồng dạng với nhau.

Điểm nổi bật về hình thang

Hình thang là một trong những hình học phổ biến và thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến tính diện tích. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của hình thang cũng như cách chứng minh nó sẽ giúp các bạn có thể giải quyết các bài toán liên quan đến hình thang một cách chính xác và nhanh chóng.

Cách chứng minh và bài tập về hình thang trong hình học

1. Lý thuyết về hình thang

1.1. Định nghĩa hình thang

Hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh này được gọi là hai cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên.

Các trường hợp đặc biệt của hình thang:

Hình thang vuông: Hình thang có một góc vuông.
Hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.
Hình thang vuông cân: Là hình thang vừa vuông vừa cân và còn được gọi là hình chữ nhật.

1.2. Các tính chất của hình thang

Tính chất về góc:

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy).
Đối với hình thang cân thì hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Tính chất về cạnh:

Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau. Ngược lại, nếu hình thang có hai cạnh bên song song thì chúng sẽ bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau.
Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.

Tính chất về đường trung bình:

Đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.
Đường trung bình của hình thang sẽ song song với hai cạnh đáy và bằng ½ tổng hai đáy.

Xem Thêm: Ohio meme là gì? Nguồn gốc meme Only in Ohio

2. Cách chứng minh hình thang

2.1. Chứng minh bằng đường trung bình

Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang, ta có thể sử dụng cách chứng minh bằng đường trung bình như sau:

Cách chứng minh một tứ giác là hình thang

Để chứng minh một tứ giác là hình thang, ta có thể chứng minh 2 cạnh của tứ giác là song song hoặc 2 góc đồng vị bằng nhau, hoặc tổng hai góc trong bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau.

Bài tập chứng minh hình thang

Bài 1: Tính các góc của hình thang ABCD

Biết A = 60o và C = 130o. Dựa vào tính chất ABCD là hình thang, ta có 2 đáy AB // CD và 2 góc trong cùng phía bù nhau. Từ đó suy ra A + D = 180 và B + C = 180. Giải hệ phương trình, ta được A = 60, B = 100, C = 130, D = 80.

Bài 2: Tính các góc của hình thang ABCD

Biết A = 50o và C = 120o. Tương tự như bài 7, ta giải hệ phương trình và suy ra A = 50, B = 130, C = 120, D = 30.

Bài 3: Tính hai đáy của hình thang ABCD

Hình thang vuông ABCD có A = D = 90o, C = 45o. Biết đường cao bằng 4cm và AB + CD = 10cm. Để tìm hai đáy AB và CD, ta dựng đường cao AD và đường cao BH. Ta có BH = AB = 4cm và tam giác BHC là tam giác vuông cân tại H. Do đó, BH = CH = 4cm. Vì AB + CD = 10, ta có AB + DH + CH = 10. Thay các giá trị đã biết vào phương trình, ta được AB = 3cm và CD = 7cm.

Bài 4: Tính các góc của hình thang ABCD

Hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Biết D = 2A. Vì ABCD là hình thang cân nên AB // CD, từ đó suy ra A và D là hai góc trong cùng phía bù nhau, tức là A + D = 180. Từ D = 2A, ta suy ra A = 60 và D = 120. Từ đó suy ra B = 120 và C = 60.

Xem Thêm: Phản ứng hóa học KMnO4 + HCl Cách thực hiện và ứng dụng trong đời sống