Chuyên đề về Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x (a ≠ 0) là phần kiến thức trọng tâm của Toán 7, phân môn Đại số. Phần kiến này sẽ được tiếp tục mở rộng trong những lớp học cao hơn với nhiều dạng đồ thị khác nhau. Bài viết này sẽ giới thiệu tất cả các kiến thức cần ghi nhớ liên quan đến chuyên đề này.
I. LÝ THUYẾT CHUNG VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Định nghĩa
– Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y=ax+b trong đó a, b là các số cho trước và a≠0.
– Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax+by=c (a, b, c là các số đã biết, a≠0 hoặc b≠0.) Nếu b≠0 thì có thể đưa phương trình về dạng y=mx+n
– Hàm số y=ax^2 (a≠0) là hàm số bậc hai đặc biệt.
2. Tính chất
– Hàm số bậc nhất y=ax+b (a≠0) xác định với mọi giá trị của x∈R và:
- + Đống biết trên R khi a>0;
- + Nghịch biến trên R khi a<0.
Các dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số lớp 7
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số $y = ax$ (với $a \neq 0$)
Phương pháp giải: Vẽ đường thẳng qua điểm $O(0,0)$ và điểm $A(1,a)$.
Ví dụ
- $y = x$ là đường thẳng OA với $O(0,0)$ và $A(1,1)$.
- $y = 3x$ là đường thẳng OB với $O(0,0)$ và $B(1,3)$.
- $y = -2x$ là đường thẳng OC với $O(0,0)$ và $C(1,-2)$.
- $y = -x$ là đường thẳng OD với $O(0,0)$ và $D(-2,2)$.
Dạng 2: Xác định đại lượng $y$ có phải là hàm số của đại lượng $x$ hay không
Phương pháp giải: Kiểm tra điều kiện: mỗi giá trị của $x$ được tương ứng với một giá trị của $y$.
Dạng 1: Xác định hàm số
Ví dụ 1:
Đại lượng x lấy các giá trị là các số tự nhiên, đại lượng y lấy giá trị là số dư của phép chia x cho 3. Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không? Gợi ý: Đại lượng y là hàm số của đại lượng x vì ứng với mỗi giá trị tương ứng của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y.
Ví dụ 2:
Bảng sau đây có cho ta một hàm số không? Nếu không thì thay đổi như thế nào để được một hàm số:
Bảng này không xác định hàm số vì giá trị x = 6 không có giá trị tương ứng của y. Có thể thay đổi bằng một trong hai cách:
- Với x = 6 cho thêm một giá trị tương ứng của y.
- Bỏ giá trị 6 của x.
Dạng 3: Tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của biến
Phương pháp giải:
Nếu hàm số cho bằng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y nằm cùng một cột. Nếu hàm số cho bằng công thức ta thay giá trị của biến đã cho vào công thức để tính giá trị tương ứng của hàm số.
Ví dụ: Bảng sau đây có xác định một hàm số không? Tìm giá trị của y tại x = – 2,3 ; x = – 4,5 ; x = 0.
Bảng này có xác định đại lượng y là hàm số của đại lượng x. Khi x = -2,3 thì y = 5, khi x = – 4,5 thì y = 7, khi x = 0 thì y = 2.
Dạng 4: Tìm tọa độ một điểm và vẽ một điểm khi biết tọa độ. Tìm các điểm trên một đồ thị hàm số, biểu diễn và tính diện tích.
Phương pháp giải:
Để tìm tọa độ một
Dạng 5: Kiểm tra điểm M(x0; y0) có thuộc đồ thị hàm số hay không
Phương pháp giải:
Điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số nếu ta thay giá trị của x0 và y0 vào hàm số ta được đẳng thức đúng. Ngược lại nếu đẳng thức sai thì điểm M không thuộc đồ thị hàm số đã cho. Ví dụ:
Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y = – 3x.
Dạng 6: Tìm hệ số a của đồ thị hàm số y = a.x, biết đồ thị đi qua một điểm
Phương pháp giải:
Ta thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm a.
Ví dụ: Tìm điểm M(x1; y1) trên đt: 2x + 3y= 5 sao cho khoảng cách từ O đến M là nhỏ nhất. Gợi ý:
(d): 2x+3y=5
→y=−23x+53
Gọi (d′) là đường thẳng đi qua O(0;0) và vuông góc với (d)
→(d′): y=32x
Phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (d′)
−23x+53=32x
→2(−2x+5)=9x
→13x=10
→x=1013
→y=1513
OM ngắn nhất ⇔ M là hình chiếu của O lên (d)
→M là giao điểm giữa (d) và (d′)
→M(10/13;15/13)
Dạng 7: Đọc đồ thị cho trước
Đọc một đồ thị cho trước
Phương pháp giải
Để đọc và giải thích ý nghĩa của một đồ thị, ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các đơn vị được biểu diễn trên trục tung và trục hoành. Ta cần biết cách xác định hoành độ (hoặc tung độ) của một điểm trên đồ thị biết tung độ (hoặc hoành độ) của điểm đó.
Ví dụ
Trong hình 27 (SGK), đoạn thẳng OA là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi bộ và đoạn thẳng OB là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi xe đạp. Khi “đọc” đồ thị này, cần hiểu rõ:
- Trục hoành biểu thị thời gian bằng giờ
- Trục tung biểu thị quãng đường đi được với đơn vị ứng với 10km
- Đoạn đường OA là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi bộ
- Đoạn thẳng OB là đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi xe đạp
Bài tập
Cho đồ thị biểu diễn chuyển động của người đi bộ và người đi xe đạp như trong hình 27 (SGK):
Hãy trả lời
- a) Thời gian chuyển động của người đi bộ là bao nhiêu giờ? Thời gian chuyển động của người đi xe đạp là bao nhiêu giờ?
- b) Quãng đường đi được của người đi bộ là bao nhiêu km? Quãng đường đi được của người đi xe đạp là bao nhiêu km?
- c) Vận tốc của người đi bộ là bao nhiêu km/h? Vận tốc của người đi xe đạp là bao nhiêu km/h?
2. Giải các bài toán hình học trong mặt phẳng tọa độ
2.1 Bài toán 1
Với m vừa tìm được, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm O(0; 0) và qua điểm T thuộc đường parabol (P) có tung độ bằng -1/16.
Cho đường parabol (P): y = x²/2 và đường thẳng (d): mx + y = 2. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
2.2 Bài toán 2
Cho đường parabol (P): y = x² và đường thẳng: y = mx – m (d).
a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.
2.3 Bài toán 3
Cho đường parabol (P): y = x²+ 1 và đường thẳng (d): y = 2x + 3.
a) Vẽ đường parabol (P) và đường thẳng (d).
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (d).
c) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.
2.4 Bài toán 4
Cho đường parabol (P): y = x².
a) Vẽ đường parabol (P) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Trên (P), lấy 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Tính diện tích tứ giác có đỉnh là A, B và các điểm là 2 hình chiếu của A và B trên trục hoành.
2.5 Bài toán 5
1. Viết phương trình đường thẳng (d) và chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị hàm số y = x^2 tại hai điểm phân biệt A, B
a) Viết phương trình đường thẳng (d)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị hàm số y = x^2 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm k để A, B nằm về hai phía của trục tung.
c) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B. Chứng minh:
