Cực trị hàm số là gì?
Trong giải tích, cực trị của một hàm số là giá trị tối đa hoặc tối thiểu của hàm số trên một miền xác định. Điểm cực trị của hàm số có thể là điểm địa phương cực đại (tối đa địa phương) hoặc điểm địa phương cực tiểu (tối thiểu địa phương) của hàm số trên miền xác định đó.
Cực trị hàm số bậc ba
Đối với hàm số bậc ba, các điểm cực trị thường xuất hiện ở các đầu mút của đồ thị của hàm số. Nếu hàm số bậc ba có hệ số của thành phần bậc ba là dương, thì điểm cực tiểu của hàm số nằm ở đầu mút đồ thị có giá trị nhỏ nhất, và điểm cực đại của hàm số nằm ở đầu mút đồ thị có giá trị lớn nhất. Nếu hệ số của thành phần bậc ba là âm, thì điểm cực tiểu và cực đại sẽ đổi chỗ. Ngoài ra, đồ thị của hàm số bậc ba còn có thể có điểm uốn lên trên (lồi) hoặc xuống dưới (lõm), nhưng không phải là điểm cực trị.
Tầm quan trọng của cực trị hàm số
Việc tìm điểm cực trị của một hàm số là rất quan trọng trong giải tích, đặc biệt trong việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên một miền xác định. Nó cũng giúp chúng ta xác định đồ thị của hàm số và các tính chất của nó như độ lớn, độ dốc, điểm uốn, v.v.
Tham khảo: Cực trị của hàm số
Công Thức Tính Cực Trị Của Hàm Số Bậc Ba Cực Hay
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y’ = 3ax^2+ 2bx + c$.
Tìm nghiệm của phương trình $y’ = 0$ để xác định vị trí của các điểm cực trị.
Để hàm số có cực đại và cực tiểu, phương trình $y’ = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt.
Ta có $a \neq 0$ và $\Delta \neq 0$, vì vậy giá trị của tham số cần tìm thuộc một miền $D$ nào đó.
Bước 2: Từ điều kiện bài toán cho trước, ta có một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số cần tìm.
Giải phương trình này để tìm giá trị của tham số.
Sau đó, đối chiếu với điều kiện của tham số và kết luận về vị trí của các điểm cực trị của hàm số.
Với công thức tính cực trị hàm số bậc ba này, bạn có thể giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba một cách chính xác và hiệu quả.
Các Điều Kiện Thường Gặp Của Bài Toán Cực Trị Hàm Số Bậc Ba
Điều Kiện Để Hàm Số Bậc Ba Có Hai Cực Trị
Để hàm số $y = f(x)$ có hai cực trị, ta cần thỏa mãn điều kiện $a \neq 0$ và $\Delta > 0$.
Điều Kiện Để Hai Cực Trị Của Hàm Số Nằm Về Hai Phía Đối Nhau Của Trục Hoành/Tung
Để hai cực trị của hàm số nằm về hai phía đối nhau của trục hoành/tung, ta cần thỏa mãn điều kiện $y_{CD} \cdot y_{CT} < 0$ hoặc $x_{CD} \cdot x_{CT} < 0$.
Điều Kiện Để Hàm Số Có Hai Cực Trị Cùng Nằm Phía Trên/Phía Dưới Của Trục Hoành
Để hàm số có hai cực trị cùng nằm phía trên/phía dưới của trục hoành, ta cần thỏa mãn điều kiện $y_{CD} = y_{CT} < 0$ hoặc $y_{CD} = y_{CT} > 0$.
Điều Kiện Để Đồ Thị Hàm Số Có Hai Điểm Cực Trị Nằm Phía Đối Với Đường Thẳng D
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm phía đối với đường thẳng $d$ có dạng $Ax + By + C = 0$, ta có phương trình:
$$
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
$$
Với $M_1(x_1, y_1)$ và $M_2(x_2, y_2)$ là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số, ta có:
$$
t_1 = Ax_1 + By_1 + C, t_2 = Ax_2 + By_2 + C
$$
Nếu đồ thị có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng $d$, ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$. Nếu đồ thị có hai điểm cực trị nằm cùng một phía đường thẳng $d$, ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$.
Các Dạng Bài Tập Của Cực Trị Hàm Số Bậc Ba
Dạng 1: Tìm m để Hàm Số Đạt Cực Đại Hoặc C
Các điều kiện của bài toán cực trị
Trong toán học, để một hàm số đạt được hai cực trị, có một số điều kiện cần được đáp ứng, bao gồm:
- a ≠ 0 và ∆ ý(∆’) > 0
- yCD.y CT < 0
- xCD.x CT< 0
- yCD.yCT= 0
- Các điểm cực trị nằm phía đối của một đường thẳng, đường tròn hoặc trục tọa độ.
Công thức tính cực trị hàm số bậc ba
Để tìm cực trị của một hàm số bậc ba, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và giải phương trình y’ = 0 để tìm các giá trị của x. Sau đó, kiểm tra các giá trị này để xác định các cực trị của hàm số. Cụ thể:
- Bước 1: Tính đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c
- Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 để tìm các giá trị của x
- Bước 3: Kiểm tra các giá trị x để xác định cực trị của hàm số
Các dạng bài tập về cực trị hàm số bậc ba
Các dạng bài tập thường gặp trong các đề thi bao gồm:
- Tìm tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một điểm xác định.
- Tìm tham số để hàm số không có cực trị.
- Tìm tham số để hàm số có các điểm cực trị tạo thành các đỉnh của một tam giác vuông cân.
Để giải các dạng bài tập này, ta cần kết hợp nhiều kiến thức về hình học, dãy số… với phương pháp tính cực trị đã được trình bày ở trên.
