Công thức tính lim giới hạn của hàm số

Khi giải các bài toán về giới hạn của hàm số, công thức tính lim giới hạn của hàm số là một trong những kiến thức quan trọng. Nó giúp chúng ta xác định giới hạn của hàm số một cách chính xác và hiệu quả. Dưới đây là công thức tính lim giới hạn của hàm số:

Công thức 1: Dùng giới hạn của một hàm số để tính giới hạn của hàm số khác

Giả sử chúng ta đã biết giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến a. Nếu hàm số g(x) có thể viết dưới dạng g(x) = (f(x) – b)/(x – a) với b là một số hữu hạn, thì giới hạn của hàm số g(x) khi x tiến đến a cũng chính là giá trị của f'(a), tức là:

lim_x→a g(x) = f'(a) = lim_x→a [f(x) – b]/[x – a]

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x² + 3x – 2 và hàm số g(x) = (x² – 1)/(x – 1). Ta muốn tính giới hạn của hàm số g(x) khi x tiến đến 1. Nhận thấy rằng g(x) có thể viết dưới dạng g(x) = f(x) + 2/(x – 1), do đó:

lim_x→1 g(x) = lim_x→1 [f(x) + 2/(x – 1)] = f'(1) = 5

Công thức 2: Dùng các quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn của hàm số

Các quy tắc tính giới hạn của các hàm số cơ bản như hàm mũ, hàm lượng giác, hàm logarith, hàm mũ trùng phương, hàm căn bậc hai… cũng có thể được sử dụng để tính giới hạn của một hàm số phức tạp hơn. Để sử dụng các quy tắc này, chúng ta cần phân tích hàm số đó thành các thành phần cơ bản, sau đó áp dụng các quy tắc tương ứng để tính giới hạn.

Xem Thêm: Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ đơn giản nhất

Công thức 3: Sử dụng giới hạn bất định

Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng giới hạn bất định để tính giới hạn của hàm số. Nếu khi tính giới hạn, ta nhận được một biểu thức không xác định dạng 0/0 hoặc ∞/∞, ta có thể áp dụng các kỹ thuật rút gọn, chia tử và mẫu để đưa biểu thức về dạng có thể tính được giới hạn. Ví dụ:

Giới hạn của hàm số f(x) = (x³ – 3x)/(x² – 5x + 6) khi x tiến đến 3. Ta có:

lim_x→3 f(x) = lim_x→3 [(x – 3)x(x + 3)/(x – 2)(x – 3)]

Với x ≠ 3, ta có:

f(x) = (x – 3)x(x + 3)/(x – 2)(x – 3) = x(x + 3)/(x – 2)

công thức tính lim giới hạn của hàm số cách tính và bài tập áp dụng

Vì f(x) không xác định tại x = 3, ta có:

lim_x→3 f(x) = lim_x→3 x(x + 3)/(x – 2) = 18

Công thức 4: Sử dụng khai triển Taylor

Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng khai triển Taylor để tính giới hạn của hàm số. Khai triển Taylor cho phép chúng ta biểu diễn một hàm số bất kỳ dưới dạng một chuỗi các đa thức tại một điểm xác định. Để tính giới hạn của hàm số, chúng ta chỉ cần tính giới hạn của các đa thức này. Ví dụ:

Giới hạn của hàm số f(x) = (sin x)/x khi x tiến đến 0. Ta có:

f(x) = 1 – x²/3! + x⁴/5! – … = Σ_n=0 (-1)ⁿ x²ⁿ/(2n + 1)!</p

Giới hạn của hàm số

Giới hạn hữu hạn

Trong toán học, giới hạn của hàm số là giá trị mà hàm số tiến đến khi biến số đầu vào tiến đến một giá trị nhất định. Nếu giới hạn của hàm số hữu hạn, tức là có giá trị cố định, chúng ta gọi đó là giới hạn hữu hạn.

Công thức tính lim – Cao đẳng nghề Việt Mỹ

Để tính giới hạn của một hàm số, ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm định nghĩa, các công thức tính giới hạn và các định lý liên quan đến giới hạn.

Giới hạn vô cực, Giới hạn ở vô cực

Nếu giới hạn của hàm số tiến đến vô cùng, chúng ta gọi đó là giới hạn vô cực (hoặc giới hạn ở vô cực). Khi tính giới hạn của một hàm số và giá trị của hàm số tiến đến vô cùng, chúng ta sử dụng các phương pháp khác nhau tùy thuộc vào dạng của hàm số đó.

Xem Thêm: Tổng hợp Các công thức tính cạnh hình vuông Chính Xác Nhất

Nếu hàm số bị chia cho một hàm số khác mà giá trị của hàm số khác này tiến đến không hoặc vô cùng, chúng ta sử dụng phương pháp chia để giải quyết các bài toán này.

Giới hạn 1 bên

Trong trường hợp giới hạn của một hàm số không tồn tại, hoặc giá trị giới hạn không thể xác định được, chúng ta gọi đó là giới hạn một bên. Ví dụ, giới hạn của hàm số sin(x) không tồn tại khi x tiến đến vô cùng.

Tìm giới hạn vô cùng của một dãy số

Tìm giới hạn vô cùng của một dãy số bằng định nghĩa

Giới hạn của một dãy số là giá trị mà các phần tử của dãy số tiến đến khi số lượng phần tử trong dãy số tiến đến vô cùng. Nếu giới hạn của dãy số tiến đến vô cùng, chúng ta gọi đó là giới hạn vô cùng.

Để tìm giới hạn vô cùng của một dãy số bằng định nghĩa, ta cần kiểm tra xem dãy số có bị phân kỳ hay không. Nếu dãy số không bị phân kỳ và các giá trị của dãy số tiến đến vô cùng khi số lượng phần tử trong dãy số tiến đến vô cùng, thì giới hạn của dãy số là vô cùng.

Tìm giới hạn của một dày số bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực

Để tìm giới hạn của một dãy số, ta có thể sử dụng các định lý và quy tắc liên quan đến giới hạn. Một trong những định lý phổ biến được sử dụng để chứng minh tính chất của giới hạn là định lý Vâyơstraxơ.

Chứng minh một dãy số có giới hạn:

Áp dụng định lý Vâyơstraxơ, nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn. Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. Để chứng minh tính tăng và tính bị chặn, ta có thể thực hiện như sau:

Xem Thêm: Hướng dẫn sử dụng công thức quãng đường, vận tốc và thời gian trong các bài toán thực tế

Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.

Để tính giới hạn của dãy số, ta có thể sử dụng hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Đặt lim un = a. Từ lim u(n+1) = lim f(un) ta được một phương trình theo ẩn a. Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trongcác nghiệm của phương trình đó.

Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc l’Hôpital. Nếu dãy số có dạng không xác định (vô tỷ, vô cực trừ vô cực, không định dạng), ta có thể sử dụng quy tắc l’Hôpital để đưa dãy số về dạng có thể tính được giới hạn. Sau đó, ta có thể tính giới hạn bằng cách đặt giá trị đó bằng lim un.

Tóm lại, để tìm giới hạn vô cùng của một dãy số, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa giới hạn vô cùng hoặc các định lý và quy tắc liên quan đến giới hạn. Điều quan trọng là phải kiểm tra xem dãy số có bị phân kỳ hay không và áp dụng đúng các phương pháp để tính giới hạn của dãy số.