Công thức cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số bắt đầu từ số thứ hai bằng cách cộng thêm một số hằng số được gọi là công sai (d), để được số kế tiếp trong dãy. Công thức của cấp số cộng là: a_n = a₁ + (n-1)d

Số hạng tổng quát

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là a_n

Tính chất

Các số hạng trong cấp số cộng cách đều nhau một giá trị công sai d
Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng là: S_n = n/2 [2a₁ + (n-1)d]

Tổng n số hạng đầu

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng được tính bằng công thức S_n = n/2 [2a₁ + (n-1)d]

Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

hướng dẫn chi tiết về công thức cấp số cộng và ứng dụng trong đời

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Các dạng bài tập về cấp số cộng

Dạng 1: Tìm công sai của cấp số cộng

Sử dụng công thức: công sai d = u_n – u_n-1

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức: số hạng tổng quát un = u₁ + (n-1)d

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Sử dụng công thức tính tổng cấp số cộng: S_n = n/2 * (u₁ + u_n)

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u₁, công sai d. Tìm công thức cho số hạng tổng quát un = u₁ + (n-1)d.

Xem Thêm: Phân Tích Ý nghĩa chi tiết Bát cháo hành của Thị Nở trong tác phẩm Chí Phèo của Nam Cao

Cách để Tìm tổng của cấp số cộng

Để tính tổng của cấp số cộng, sử dụng công thức S_n = n/2 [2a₁ + (n-1)d]. Trong đó n là số lượng số hạng trong cấp số cộng, a₁ là số hạng đầu tiên và d là công sai.

Cách để tìm tổng của cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi. Để tính tổng các số hạng của cấp số cộng, bạn có thể cộng nhẩm tất cả các số. Tuy nhiên, việc này sẽ không khả thi khi cấp số cộng gồm nhiều số hạng. Thay vào đó, bạn có thể nhanh chóng tìm tổng của cấp số cộng bằng cách nhân trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng cuối với số số hạng.

Đánh giá cấp số cộng của bạn

Cần biết chắc là bạn có một cấp số cộng. Cấp số cộng là dãy số liên tiếp, trong đó sự sai khác giữa các số hạng là hằng số. Phương pháp này chỉ đúng khi dãy số của bạn là cấp số cộng. Để xác định liệu bạn có cấp số cộng hay không, hãy tìm sai khác giữa vài số hạng đứng đầu dãy số và giữa những số hạng đứng cuối dãy số. Đảm bảo sai khác đó không thay đổi. Ví dụ, dãy số 10, 15, 20, 25, 30 là một cấp số cộng vì sai khác giữa các số hạng liên tiếp là hằng số.

Tính số số hạng trong cấp số cộng

Mỗi số trong cấp số cộng được gọi là số hạng. Nếu chỉ có một vài số hạng thì bạn có thể đếm. Mặt khác, nếu bạn biết số hạng đầu tiên, số hạng cuối cùng và công sai (sai số giữa mỗi số hạng), bạn có thể dùng công thức để tính số số hạng.

Tính tổng cấp số cộng với biến số n

Đặt số số hạng phải tìm là biến số n. Giả sử nếu bạn tính tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 thì n=5, vì có 5 số hạng trong cấp số cộng. Xác định số hạng đầu tiên và cuối cùng của cấp số cộng.

Bạn cần biết cả hai số hạng này để tính tổng cấp số cộng. Thường thì số hạng đầu tiên sẽ là 1 nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Hãy đặt biến số a1 là số hạng đầu tiên của cấp số cộng và an là số hạng cuối của cấp số cộng. Chẳng hạn, trong cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30, a1 = 10, và an = 30. Tính tổng.

Công thức tính tổng cấp số cộng

Công thức sẽ là:

S_n = n/2 * (a₁ + a_n)

Trong đó S_n là tổng của cấp số cộng. Chú ý là công thức này cho biết tổng cấp số cộng bằng trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối nhân với số số hạng. Thay các giá trị của n, a1, và an vào công thức.

Đảm bảo bạn thay số chính xác. Ví dụ, nếu bạn có 5 số hạng trong cấp số cộng, a1 = 10 là số hạng đầu, và an = 30 là số hạng cuối, công thức sẽ như sau: S_n = 5/2 * (10 + 30) = 100.

Xem Thêm: Khái niệm về hình thoi và Cách chứng minh tứ giác là hình thoi dễ hiểu nhất

Tính trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối

Để làm phép tính này, bạn hãy cộng hai số trên và chia cho 2. Ví dụ: (a₁ + a_n) / 2 = (10 + 30) / 2 = 20.

Tính tổng các số từ 1 đến 500

Để tính tổng các số từ 1 đến 500, ta coi chúng là một dãy số nguyên liên tiếp. Số hạng đầu là 1, số hạng cuối là 500, và ta cần tìm số số hạng trong dãy số này. Để tính tổng, ta áp dụng công thức sau:

Tổng = (Số hạng đầu + Số hạng cuối) x Số số hạng / 2

Vậy tổng các số từ 1 đến 500 là:

(1 + 500) x 500 / 2 = 125250

Xác định số hạng trong cấp số cộng

Để xác định số hạng trong một cấp số cộng, ta cần biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai. Ví dụ: trong cấp số cộng 3, 10, 17, 24, số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 24 và công sai là 7. Số số hạng có thể tính bằng công thức sau:

Số số hạng = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) / Công sai + 1

Tính trung bình cộng và tích trung bình cộng

Để tính trung bình cộng của một dãy số, ta cộng tất cả các số trong dãy rồi chia cho số số hạng. Ví dụ: để tính trung bình cộng của dãy số 3, 10, 17, 24, ta cộng tất cả các số và chia cho 4 (số số hạng), kết quả là 13.5. Để tính tích trung bình cộng của một dãy số, ta nhân trung bình cộng với số số hạng. Ví dụ: để tính tích trung bình cộng của dãy số 3, 10, 17, 24, ta tính trung bình cộng (13.5) và nhân với số số hạng (4), kết quả là 54.

Tính số tiền tiết kiệm của Mara

Mara tiết kiệm 5 đô la trong tuần đầu tiên của năm và tăng số tiền tiết kiệm hằng tuần thêm 5 đô la mỗi tuần. Để tính số tiền tiết kiệm của Mara đến cuối năm, ta cần biết số tuần trong năm (52 tuần) và số tiền tiết kiệm hàng tuần ban đầu (5 đô la). Ta coi

Các công thức liên quan đến cấp số cộng

Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể:

Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:
ak = a + (k-1)d.
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Sn = (n/2)(a + an), với an = a + (n-1)d.

Công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:

Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối) : công sai] + 1

Ví dụ về sử dụng công thức cấp số cộng

Số tiền tiết kiệm ban đầu là $5, để tìm số tiền tiết kiệm vào tuần cuối cùng trong năm, ta làm phép tính:

Số tiền tiết kiệm vào tuần cuối cùng trong năm = $5 + (52-1)($143-$5) = $7,046.

Trung bình cộng của $5 và $143 là ($5 + $143) / 2 = $74.

Nhân trung bình cộng với số tuần trong năm, ta có: $74 x 52 = $3,848.

Vậy đến cuối năm, Mara tiết kiệm được $7,046.

Vấn đề 1: Xác định cấp số và yếu tố của cấp số

Phương pháp:

Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nếu và chỉ nếu a + c = 2b.
Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân nếu và chỉ nếu a*c = b.

Vấn đề 2: Chứng minh tính chất của cấp số

Phương pháp:

Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
Sử dụng tính chất của cấp số:
- i) Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC nếu và chỉ nếu a + c = 2b.
- ii) Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN nếu và chỉ nếu a*c = b.