Bội chung nhỏ nhất là gì?

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) là một khái niệm trong đại số rất quan trọng. Nó là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số nguyên dương đưa ra. Khi một bài toán yêu cầu tìm BCNN của hai hay nhiều số, chúng ta cần áp dụng kiến thức này để giải quyết.

1. Khái niệm về BCNN

Trong số học, BCNN của hai số nguyên a và b được ký hiệu là LCM(a,b) hoặc [a,b]. Nó được tính bằng cách nhân hai số đó và chia cho ước chung lớn nhất của chúng, tức là:

LCM(a,b) = a * b / GCD(a,b)

Trong đó, GCD(a,b) là ước chung lớn nhất của a và b.

Chú ý rằng nếu một trong hai số a hoặc b bằng 0, thì không tồn tại BCNN của chúng. Trong trường hợp này, ta quy ước BCNN(a,b) = 0.

bội chung nhỏ nhất là gì cách tìm bội chung nhỏ nhất nhanh chóng

2. Cách tính BCNN

Để tính BCNN của hai hay nhiều số, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

a. Tính GCD của các số đó

Tính ước chung lớn nhất (GCD) của các số đưa ra, sử dụng một trong những phương pháp sau:

Sử dụng thuật toán Euclid
Sử dụng phân tích ra thừa số nguyên tố và tìm GCD dựa trên các thừa số chung của các số đó

b. Tính tích của các số đó

Tính tích của các số đưa ra.

c. Tính BCNN

Tính BCNN của các số đó bằng cách chia tích của chúng cho GCD:

BCNN(a₁, a₂, …, a_n) = (a₁ * a₂ * … * a_n) / GCD(a₁, a₂, …, a_n)

3. Ví dụ về tính BCNN

Cho các số nguyên dương 12, 18, và 30. Ta có:

GCD(12,18,30)

Xem Thêm: Đường trung tuyến là gì? Tìm hiểu Tính chất, công thức của đường trung tuyến

Cách tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số

Bước 1: Phân tích thừa số nguyên tố

Đầu tiên, phân tích từng số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung và riêng

Sau đó, chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng của các số đã cho.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý:

Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy.

Ví dụ:

BCNN(5, 7) = 5.7 = 35. Vì 5 và 7 nguyên tố cùng nhau nên BCNN bằng tích của 5 và 7.
BCNN(8, 12, 96) = 96. Vì 96 chia hết cho 8 và 12 nên BCNN(8, 12, 96) = 96.

Để tìm giá trị của BCNN(8,9,21), ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố. Với mỗi số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị BCNN cần tìm. Bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 2³, 3², 5¹, và 7¹. Do đó: BCNN(8;9;21) = 8.9.1.7 = 504.

CÁC DẠNG TOÁN TÌM BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT CỦA HAI HAY NHIỀU SỐ

Dạng 1: Tìm bộ số chung của các số cho trước

Phương pháp giải của dạng toán này khá đơn giản. Học sinh chỉ cần áp dụng các bước tìm ước chung nhỏ nhất đã giới thiệu ở trên là có thể tìm được thôi. Ví dụ:

Tìm BCNN của:

30 và 150

Giải:

BCNN (30, 150) = 150 vì 150 chia hết cho 30;

Dạng 2: Bài toán đưa về việc tìm bộ số chung của hai hay nhiều số

Dạng này các bạn phải phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số. Ví dụ:

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18.

Giải:

a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18 nên a là bội chung của 15 và 18. a lại là số nhỏ nhất khác 0 nên suy ra: a là BCNN(15, 18) = 90.

Dạng 3: Bài toán đưa về việc tìm bộ số chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số cho trước.

Tìm BCNN và các bội của các số đó

Đề bài yêu cầu tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số đã cho và chọn các bội thỏa mãn điều kiện. Ví dụ:

Bài tập 1: Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45

BCNN của 30 và 45 là 90. Do đó, các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45 là:

Xem Thêm: Công thức tính diện tích hình tròn chuẩn nhất

Bài tập 2: Tìm số học sinh lớp 6C

Cho biết số học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng và nằm trong khoảng từ 35 đến 60. Ta cần tìm số học sinh của lớp 6C. Vì số học sinh này phải chia hết cho 2, 3, 4, và 8, nên đó là BCNN của các số này, tức là BCNN(2, 3, 4, 8) = 24.

Mỗi bội của 24 cũng là một bội chung của 2, 3, 4, và 8. Vậy để tìm số học sinh lớp 6C, ta cần tìm các bội của 24 trong khoảng từ 35 đến 60.

B(24) là tập hợp các bội của 24: {0, 24, 48, 72, 96, …}. Trong các số thuộc B(24), chỉ có số 48 nằm trong khoảng từ 35 đến 60. Vậy số học sinh lớp 6C là 48.

Bài 1

Vì số học sinh của lớp 6C trong khoảng 35 đến 60 nên ta phải chọn bội của 24 thỏa mãn điều kiện này. Đó là 24.2 = 48. Vậy lớp 6C có 48 học sinh.

Bài 2

Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực nhật, Bách cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật?

Số ngày để việc trực nhật của An lặp lại là một bội của 10, của Bách là một bội của 12. Do đó khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật sau là những bội chung của 10 và 12. Vì thế khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật thứ hai là BCNN (10, 12). Ta có: 10=2.5;12=22.3 => BCNN(10,12)=60. Vậy ít nhất 60 ngày sau hai bạn mới lại cùng trực nhật.

Bài 3

Hai đội công nhân nhận trồng một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I phải trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II phải trồng 9 cây. Tính số cây mỗi đội phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200.

Số cây mỗi đội phải trồng là bội chung của 8 và 9. BCNN (8, 9) = 72. Số cây mỗi đội phải trồng là bội của 72.

Bài 5: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện

Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

x chia hết cho 12, x chia hết cho 21, x chia hết cho 28 và 150 < x < 300.

Giải:

Ta có: x ∈ BC(12 , 21, 28) và 150 < x < 300. BCNN(12 , 21, 28) = 84.

Đáp số: x ∈ {168 ; 252}.

Bài 6: Tìm BCNN của các số

Tìm BCNN của các số:

a) 60, 280;
b) 84, 108;
c) 13, 15.

Giải:

a) 60 = 2^2.3.5; 280 = 2^3.5.7;

Xem Thêm: 1m bằng bao nhiêu cm? Cách đổi đơn vị m sang các đơn vị đo lường khác

Do đó, BCNN(60, 280) = 2^3.3.5.7 = 840.

b) Ta có BCNN(84, 108) = 2^2.3^3 = 36;
c) Ta có BCNN(13, 15) = 13.15 = 195.

Bài 7: Tìm BCNN của các số

Tìm BCNN của các số:

a) 10, 12, 15;
b) 8, 9, 11;
c) 24, 40, 168.

Đáp số:

a) BCNN(10, 12, 15) = 60;
b) BCNN(8, 9, 11) = 792;
c) BCNN(24, 40, 168) = 840.

Bài 8: Tính BCNN của các số

Tính nhẩm BCNN của các số:

a) 30 và 150;
b) 40, 28, 140;
c) 100, 120, 200.

Giải:

a) 150 chia hết cho 30 nên BCNN(30,150) = 150.
b) 140.2 = 280, 280 chia hết cho 40, 280 chia hết cho 28 nên: BCNN(40, 28, 140) = 280.
c) 200.3 = 600, 600 chia hết cho 100, 600 chia hết cho 120 nên: BCNN(100, 120, 200) = 600.