Bất đẳng thức Cô-si Lý thuyết và bài tập thực hành

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bất đẳng thức Cô-si hay còn gọi là bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Theo đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Chúng ta có thể chứng minh bất đẳng thức AM-GM bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

2. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho a₁, a₂,…, a_n là các số thực dương, ta có các dạng phát biểu như sau:

• Dạng 1: a₁+a₂ ≥ 2√a₁a₂
• Dạng 2: a₁+a₂+…+a_n ≥ n√a₁a₂…a_n
• Dạng 3: (a₁^pa₂^1-p)^1/p ≤ pa₁+(1-p)a₂
• Dạng 4: (a₁^pa₂^p…a_n^1-pq)^1/p(a₁^qa₂^q…a_n^1-pq)^1/q ≤ pa₁+qa₂+(1-p-q)a₃+…+(1-p-q)a_n
• Dạng 5:(a₁^pa₂^p…a_n^p)^1/p ≤ (a₁+a₂+…+a_n)/n
• b. Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Cô-si
• Đây là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát khi n=2, n=3.
• c. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
• d. Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM
• Khi áp dụng bất đẳng thức Cô si thì các số phải là những số không âm.
• Bất đẳng thức Cô si thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích.
• Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau.
• Bất đẳng thức Cô si còn có hình thức khác thường hay sử dụng.
• Đối với hai số: x²+y² ≥ 2xy, x²+y² ≥ (x+y)²/2, xy ≤ (x+y)²/4.
• Đối với ba số: abc ≤ (a³+b³+c³)/3, abc ≤ ((a+b+c)/3)³.

Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay, THPT Lê Hồng Phong sẽ giới thiệu về một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập thường gặp.

Bất đẳng thức Cosi – Tiết 1 – YouTube

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

1. Bất đẳng thức Cô-si là gì?

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách để chứng minh bđt này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

• Nghĩa là:
• Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:
  • Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
• Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:
  • Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

2. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho a₁, a₂,…, a_n là các số thực dương ta có:

• Dạng 1:
• Dạng 2:
• Dạng 3:
• Dạng 4:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x > 0 và ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (do x > 0)

Vậy min

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số a, b, c không âm có:

Tương tự ta có và

Cộng vế với vế ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

b. Bài luyện tập thêm:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, với x > 0

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si)

b, với x > 0

c, với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si)

III. KẾT LUẬN

Như vậy, qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu về bất đẳng thức Cô-si (bất đẳng thức AM-GM) và các dạng bài tập thường gặp của nó. Bất đẳng thức Cô-si là một trong những bất đẳng thức cơ bản và quan trọng nhất trong toán học, được áp dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong tính toán và xác suất. Việc nắm vững bất đẳng thức này sẽ giúp chúng ta giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán đòi hỏi tính toán phức tạp. Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích cho các bạn trong việc nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán của mình.