I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Trong tài liệu này, chúng ta sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki để phù hợp với chương trình sách giáo khoa ở Việt Nam.
1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?
Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz.
2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:
Với hai bộ số và ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0.
II. CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki, tuy nhiên trong bài viết này chúng ta chỉ đề cập đến cách chứng minh đơn giản nhất cho trường hợp hai bộ số.
Các Dạng Phát Biểu Của Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm các dạng sau đây:
- Dạng cơ bản
- Dạng phân thức
Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Một Số Kỹ Thuật Áp Dụng Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki
Kỹ Thuật Chọn Điểm Rơi
Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức, ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Dạng Cơ Bản
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng (a1b1+a2b2+…+anbn)2 về đại lượng (a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n) hoặc ngược lại.
Kỹ thuật thêm bớt
Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn.
Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki
Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quen thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Công thức kỹ thuật đổi biến:
LƯU Ý KHI BIẾN ĐỔI BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:
- Đổi chỗ hai biến (nếu có thể)
- Nhân hoặc chia một biến với một số dương
- Cộng hoặc trừ một biến với một số
Với một số bất đẳng thức có giả thiết là ta có thể đổi biến:
- Đổi biến a = x + y, b = x – y, c = z
- Đổi biến a = x + y, b = x + z, c = y + z
SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI ÁP DỤNG BUNHIACOPXKI
Ví dụ:
Cho a là số thực dương thỏa mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = a2 + 1/a2</
Chứng minh và bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Để chứng minh và giải quyết các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những công cụ quan trọng. Bất đẳng thức này được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến các số thực và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được thể hiện thông qua các bước giải quyết bài toán. Với mỗi bài toán cụ thể, ta cần phải áp dụng các công thức, tính chất để chuyển bài toán về dạng có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải quyết. Sau đó, ta áp dụng bất đẳng thức để tìm nghiệm của bài toán.
Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki
Sau đây là một số bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki để các bạn luyện tập và nắm vững kiến thức:
- Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \geq 3$
- Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{a+b} + \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a} \geq \dfrac{3}{2}$
- Cho $a,b,c$ là các số dương thực. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^3}{b} + \dfrac{b^3}{c} + \dfrac{c^3}{a} \geq a^2 + b^2 + c^2$
- Cho $a,b,c$ là các số dương thực và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{a(b+1)} + \dfrac{1}{b(c+1)} + \dfrac{1}{c(a+1)} \geq \dfrac{3}{2}$
- Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $abc=1$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \geq 9 + 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Hy vọng qua bài viết này, các bạn đã nắm vững thêm kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki và có thể áp dụng thành thạo vào giải quyết các bài toán liên quan đến bất đẳng thức.
Xem thêm bất đẳng thức Cô-si tại đây!
