Trong toán học, ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số nguyên là số nguyên dương lớn nhất là ước số chung của các số đó. Việc tìm ƯCLN giữa hai số là công việc quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong đại số.

Dưới đây là cách tìm ƯCLN nhanh chóng và chính xác:

Bước 1: Tìm ước số của hai số đó

Tìm tất cả các ước số của hai số đó.

Bước 2: Tìm ước chung lớn nhất của hai số đó

cách tìm ước chung lớn nhất của hai số nhanh chính xác

So sánh tất cả các ước số của hai số đó, lấy ước số chung lớn nhất.

Ví dụ:

Tìm ƯCLN của 18 và 24.

Bước 1: Các ước số của 18 là: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Các ước số của 24 là: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Bước 2: ƯCLN của 18 và 24 là 6 vì 6 là ước số chung lớn nhất của hai số đó.

Vì vậy, ta đã tìm được ƯCLN của hai số 18 và 24.

Tính chất của ƯCLN

Mọi ước chung của các số là ước của ƯCLN của các số đó.
Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.
Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN(m·a0, m·a1, m·a2,…m·an) = m·ƯCLN(a0, a1, a2,… an).
Nếu m là số nguyên bất kỳ, thì ƯCLN(a + m·b, b) = ƯCLN(a, b).
Nếu m là ước chung (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) = ƯCLN(a, b)/m.
ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau : nếu các số a1, a2,…,an là các số nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN(a1·a2·…an, b) = ƯCLN(a1, b)·ƯCLN (a2, b)·…ƯCLN (an, b).
ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).
ƯCLN là hàm kết hợp: ƯCLN(a,b,c)= ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).
ƯCLN (a, b) quan hệ chặt chẽ với BCNN(a, b): ta có: ƯCLN(a, b)·BCNN(a, b) = a·b.

Xem Thêm: Ca(OH)2 + HCl → CaCl2 + H2O

Cách tìm ƯCLN

Phương pháp:

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Nhân số nguyên tố chung với tích mũ chung nhỏ nhất trong 2 số sẽ được ƯCLN cần tìm.

Lưu ý:

Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.

Bài Tập

Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước

Để tìm ƯCLN của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN đó. Tập hợp các ước chung của các số là tập hợp các ước của ƯCLN đó.

Ví dụ:

Tìm ƯCLN rồi tìm các ước chung của:
1. 16 và 24
2. 180 và 234
3. 60, 90 và 135
Giải:
1. 16 = 24 = 2² x 2 x 3
  ƯCLN(16, 24) = 2² = 4. Các ước chung của 16 và 24 là 1, 2, 4 và 8.
2. 180 = 2² x 3² x 5
  234 = 2 x 3 x 13
  ƯCLN(180, 234) = 2 x 3 = 6. Các ước chung là 1, 2, 3, 6, 9 và 18.
3. 60 = 2² x 3 x 5
  90 = 2 x 3² x 5
  135 = 3³ x 5
  ƯCLN(60, 90, 135) = 3 x 5 = 15.

Dạng 2: Nếu số nhỏ nhất trong các số đã cho là ước của các số còn lại, thì ước chung lớn nhất của các số là số đó

Nếu có số nhỏ nhất trong các số đã cho là ước của các số còn lại, thì ước chung lớn nhất của các số đó chính là số đó.

Ví dụ:

Tìm ƯCLN của (12, 30)

12 = 2² x 3
30 = 2 x 3 x 5
Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3
ƯCLN(12, 30) = 2 x 3 = 6.

Dạng 3: Tìm ước chung lớn nhất của nhiều số bằng cách tìm ƯCLN của từng cặp số

Để tìm ƯCLN

Các dạng bài toán về ước chung và bội chung

Dạng 1: Tìm ước chung của hai hay nhiều số

Trong dạng bài này, học sinh cần tìm ước chung của hai hay nhiều số cho trước. Các bước giải quyết bài toán như sau:

Phân tích các số cho trước thành tích các thừa số nguyên tố;
Tìm tất cả các thừa số nguyên tố chung của các số;
Đưa ước chung về dạng tích các thừa số nguyên tố.

Xem Thêm: Phản ứng Cl2 + KOH đặc nóng: Cách thực hiện và ứng dụng

Ví dụ:

Tìm ước chung lớn nhất của 10 và 15.

Giải:

10 = 2 x 5;

15 = 3 x 5;

ƯCLN(10, 15) = 5.

Dạng 2: Tìm ước chung lớn nhất của hai số

Trong dạng này, học sinh cần đưa bài toán về việc tìm ước chung lớn nhất của hai số. Các bước giải quyết bài toán như sau:

Tìm ước chung của hai số;
Nếu ước chung là 1, kết luận hai số là nguyên tố cùng nhau;
Nếu ước chung khác 1, tiếp tục tìm ước chung của ước chung vừa tìm được với số còn lại cho đến khi ước chung bằng 1;
ƯCLN của hai số là tích các ước chung đã tìm được.

Ví dụ:

Tìm ước chung lớn nhất của 420 và 700.

Giải:

ƯCLN(420, 700) = 140.

Dạng 3: Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Trong dạng này, học sinh cần phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số. Các bước giải quyết bài toán như sau:

Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước;
Tìm các ước của ƯCLN này;
Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài tập toán học

Bài 1:

Tìm các ước của 48 lớn hơn 20.

Ư(48) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48}

Các ước của 48 lớn hơn 20 là 24 và 48.

Bài 2:

Tìm số tự nhiên x, biết rằng 112 chia hết cho x, 140 chia hết cho x và 10 < x < 20.

x ∈ ƯC(12 ,140) và 10 < x < 20.

ƯCLN(112 , 140) = 28.

Đáp số: x = 14.

Bài 3:

Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét).

Xem Thêm: Phản ứng hóa học FeO + HNO3? Công thức, cách thực hiện và ứng dụng

Để tấm bìa được cắt hết thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh của hình vuông phải là ước chung của 75 và 105. Do đó độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (tính bằng cm) là ƯCLN (75,105), tức là 15 cm.

Bài 4:

Một người chủ có một chuồng thỏ. Người chủ muốn cho những con thỏ trong chuồng ăn, mà ông chỉ có 6 cây súp lơ và 8 củ cà rốt. Ông muốn mỗi con thỏ đều được ăn cả súp lơ và cà rốt. Và số lượng súp lơ và cà rốt ăn được phải bằng nhau. Thức ăn cũng không được để thừa. Vậy số thỏ là bao nhiêu để có thể ăn đều như mong muốn của ông chủ.

Bài tập về ước chung lớn nhất

Bài 1:

Ta áp dụng kiến thức về ước chung lớn nhất để giải bài tập. Số thỏ tối đa không được lớn hơn 6 để đảm bảo số thỏ không ăn thừa hay thiếu số súp lơ. Trong bài toán này ta sẽ tìm ước chung lớn nhất của 6 và 8, bởi chúng ta muốn tìm ra số thỏ mà trong đó có thể chia đều 6 cây súp lơ và 8 củ cà rốt cho chúng. Ta có:

6 = 2² x 3

8 = 2 x 4

Vậy ước chung lớn nhất của hai số là 2. Số thỏ trong chuồng sẽ là 2 con. Mỗi con ăn được 3 cây súp lơ và 4 củ cà rốt.